나선 (cos t, sin t, t)
나선(螺旋, 문화어: 라선)은 3차원 공간의 곡선과 같이, 매끄러운 곡선의 일종이다. 이는 물체의 겉모양이 빙빙 비틀린 형태를 지닌다. 나선의 영어 낱말 helix(헬릭스)는 "꺾인, 굽은"을 뜻하는 그리스어 낱말 ἕλιξ에서 왔다.[1]
3차원 공간 곡선으로서의 나선:
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&{}=\cos(t),\\y(t)&{}=\sin(t),\\z(t)&{}=t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ff3d0eae8e135f216a451e7708d2e1cce7b577)
원통좌표계 (r, θ, h):
![{\displaystyle {\begin{aligned}r(t)&{}=1,\\\theta (t)&{}=t,\\h(t)&{}=t.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b5742777e13e752afedbe4a7b237a899c443fcb)
원 나선(반지름 a, 2πb):
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&{}=a\cos(t),\\y(t)&{}=a\sin(t),\\z(t)&{}=bt.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7aa54336078e902dede07c21eb4fe1f41351fb)
호의 길이, 곡률과 비틀림(Arc length, curvature and torsion)[편집]
반지름이 a 인 원기둥에 기울기 b/a (or pitch 2πb) 인 나선은 아래와 같이 벡터 함수로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle t\mapsto (a\cos t,a\sin t,bt),t\in [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d3e0b26d648578d282662c605919e609ab3636)
나선 위에 있는 점의 위치벡터는 아래와 같다.
이를 미분하여 속도와 가속도를 구하면
이다. 속력과 가속도 크기를 구하면 아래와 같다.
호의 길이를 구하는 변수를 구하면
이다. 이제 변수
로 위치벡터를 다시 매개변수화하자.
변수
에 대하여 미분하여 단위 접선벡터를 구하고 이를 다시 미분하여 곡률 벡터를 구하면
이다. 따라서 나선의 곡률은
이다.
단위 법선벡터를 구하면
이므로 이중법선벡터는 아래와 같다.
이중법선벡터를 미분하여 비틀림(토션)을 구할 수 있다.
비틀림은
이다.
이처럼 나선은 곡률과 비틀림이 상수인 곡선이다.
참고 공간 곡선 운동에 관하여[2]
같이 보기[편집]
- ↑ ἕλιξ, Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon, on Perseus
- ↑ [1]공간 곡선 운동에 관하여