화환곱

군론과 반군론에서 화환곱(花環-, 영어: wreath product)은 군이나 반군의 작용이 갖추어진 집합에 대한 합성 연산이다.

정의[편집]

반군 $G$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $A$ 와 반군 $H$ 가 오른쪽에서 작용하는 집합 $B$ 가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 집합 $G^{B}\times H$ 위에 다음과 같은 반군 구조를 줄 수 있다.

\left((g_{b})_{b\in B},h\right)\cdot \left((g'_{b})_{b\in B},h'\right)=\left((g_{b}g'_{b\cdot h})_{b\in B},hh'\right)

이 반군은 $A\times B$ 위에 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.

(a,b)\cdot \left((g_{b'})_{b'\in B},h\right)=(a\cdot g_{b},b\cdot h)

이를 $(G,A)$ 와 $(H,B)$ 의 화환곱이라고 하며,

(G,A)\wr (H,B)

로 표기한다.

화환곱은 결합 법칙을 따른다. 즉, 반군 작용이 갖추어진 집합 $(G,A)$ , $(H,B)$ , $(K,C)$ 이 주어졌을 때

(G,A)\wr \left((H,B)\wr (K,C)\right)\cong \left((G,A)\wr (H,B)\right)\wr (K,C)

이다.

화환곱 $(G_{1},A_{1})\wr \cdots \wr (G_{k},A_{k})$ 에서, 모든 $G_{i}$ 가 군을 이룬다면, 그 화환곱 역시 군을 이룬다.

크라스너-칼루주닌 매장 정리(영어: Krasner-Kaloujnine embedding theorem)에 따르면, 군의 짧은 완전열

1\to N\to G\to Q\to 1

가 주어졌고, 각 군은 스스로 위에 작용한다고 여겼을 때, $N\wr Q$ 는 $G$ 를 부분군으로 가진다. 반군의 경우, 위와 유사한 크론-로즈 정리(영어: Krohn–Rhodes theorem)가 존재한다.