복소해석학에서 항등 정리(恒等定理, 영어: identity theorem)는 연결 열린집합 위의 정칙 함수가 정의역에서 극한점을 갖는 부분 집합만으로 결정된다는 정리이다.
연결 열린집합
에 정의된 두 정칙 함수
가 주어졌고, 집합
![{\displaystyle \{z\in D\colon f(z)=g(z)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64f3382833f3a446306243b19abd885a2c0e5e61)
가
에서 극한점을 갖는다고 하자. 항등 정리에 따르면, 임의의
에 대하여
이다.[1]:209
특히, 연결 열린집합
에 정의된 정칙 함수
의 영점의 집합은
전체이거나,
에서 극한점을 갖지 않는다.[1]:208, Theorem 10.18 후자의 경우,
의 모든 영점은 영점 집합의 고립점이며, 특히 영점 집합은 가산 집합이다.
연결 열린집합
에 정의된 정칙 함수
의 영점의 집합이
에 속하는 극한점
를 갖는다고 하자. 또한,
![{\displaystyle S=\{z\in D\colon 0=f(z)=f'(z)=f''(z)=\cdots \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdd962f72d1c40f08fc455aa2038daf75e580d4)
라고 하자. 그렇다면
임을 보이는 것으로 족하다.
우선
임을 보이자.
를 보이는 것으로 족하다. 귀류법을 사용하여
라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle m=\min\{n\geq 0\colon f^{(n)}(z_{0})\neq 0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e40ee61dc8e8489860a79280626960f9f978734)
이 정의된다.
는 연속 함수이므로,
이며, 따라서
이다.
인
을 고정하자. 그렇다면, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63fc778829727e2f8b4b2eeb3f18a391c1c046ce)
이다. 즉, 정칙 함수
를
![{\displaystyle g(z)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}(z-z_{0})^{n-m}\qquad (z\in \operatorname {B} (z_{0},r))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd64ffca7e0923188231883de9c018aed6cae9ae)
와 같이 정의할 경우,
![{\displaystyle g(z_{0})={\frac {f^{(m)}(z_{0})}{m!}}\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cde621b70a9a30297e51564f9290da6e8ac1bd7)
이고, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{m}g(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3882bc506d237addedcd505de5fac428e7d68ed)
이다. 따라서
을 충분히 작게 다시 정의할 경우
가
에서 영점을 갖지 않게 만들 수 있으며, 이 경우
는
에서 영점을 갖지 않는다. 이는
이
의 극한점인 데 모순이다.
이제
가 열린집합임을 보이자. 임의의
를 고정하고,
인
을 고정하자. 그렇다면,
는
에서 정칙 함수이므로, 임의의
에 대하여
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}(z-z_{1})^{n}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587866c16117078fb4702f82c705dc244d8dd37e)
이다. 즉,
이며, 따라서
은
의 내부점이다.
마지막으로
가
의 닫힌집합이라는 사실을 보이자. 임의의
를 고정하자. (여기서
는
에서의 극한점의 집합이다.) 그렇다면, 임의의
에 대하여,
이 연속 함수이므로
이다. 즉,
이다.
즉,
는
의 열린닫힌집합이며,
이다.
는 연결 집합이므로,
이다. 특히, 임의의
에 대하여,
이다.
항등 정리는 정의역이 연결 집합이 아닐 경우 성립하지 않는다. 예를 들어, 열린집합
가 두 연결 성분
를 가질 때, 함수
![{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97128887c8e8a0fac3a7a8a8775682f0680fcfb1)
![{\displaystyle f(z)={\begin{cases}0&z\in D\\1&z\in U\setminus D\end{cases}}\qquad (z\in U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08dcb5103146091c480ec41d1847c09136bb5358)
는 정칙 함수이며, 영점 집합
는 정의역
전체가 아니지만,
는
에서
의 모든 원소를 극한점으로 갖는다.[1]:210
항등 정리는 정의역 전체가 아닌 영점 집합이 정의역에 속하지 않는 극한점을 가질 가능성을 배제하지 않는다. 예를 들어, 정칙 함수
![{\displaystyle f\colon \mathbb {C} \setminus \{0\}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fe1b99f8b200b211142e00df67ada7f1d3914f)
![{\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}\qquad (z\in \mathbb {C} \setminus \{0\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adc5134ef202797e929478ed5d0cf65de7e113a1)
의 영점 집합
![{\displaystyle \left\{{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb319bfb7b0bb5af3adf45b86f1dcb39cd3d7ebd)
은
을 극한점으로 한다.[2]:97, §3.4, 예3
항등 정리는 실수 매끄러운 함수에 대하여 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수
![{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1cacd5f7bbe1027cc75fbe2fbd9cb5e79485302)
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\exp \left(-1/x^{2}\right)\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}\qquad (x\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f672cd0560a64c88f69918d9696c3d64c14fba5)
는 매끄러운 함수이나, 영점 0은 영점 집합
![{\displaystyle \left\{0,{\frac {1}{\pi }},{\frac {1}{2\pi }},{\frac {1}{3\pi }},\dots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7c283857f96cba7586c77af6cb99b1a6d30b43b)
의 극한점이다.[2]:96, §3.4, 예2
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- 강승필 (2007). 《해설 복소함수론》. 경문사.