푸앵카레-호프 정리

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미분위상수학에서, 푸앵카레-호프 정리(영어: Poincaré–Hopf theorem)는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다.

정의[편집]

벡터장의 지표[편집]

차원 매끄러운 다양체 위에 벡터장 를 생각하자. 이 벡터장의 영점()들이 고립되었다(isolated)고 하자. 즉, 영점 에 대하여, 를 포함하고 와 다른 영점들을 포함하지 않는 근방 가 존재한다. 이 근방 는 항상 닫힌 차원 위상동형이게 잡을 수 있다. 그렇다면 임의로 국소좌표계를 잡아, 함수 로 정의할 수 있다. 영점지표(index) 는 함수 차수 이다. 이는 국소좌표계나 에 의존하지 않는 값이다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 지표는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,

푸앵카레-호프 정리[편집]

콤팩트 가향 다양체라고 하자. 그렇다면 오일러 지표 위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.

이 사실을 푸앵카레-호프 정리라고 한다.

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2차원 는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 털난 공 정리(hairy ball theorem)이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

위에, 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장  
구 위에, 지표가 1인 두 개의 영점을 가진 벡터장  
원환면 위에, 영점을 가지지 않는 벡터장  

역사와 어원[편집]

앙리 푸앵카레하인츠 호프의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고,[1] 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Poincaré, Henri (1885). Sur les courbes définies par les équations différentielles III[[분류:프랑스어 표기를 포함한 문서|푸앵카레-호프 정리]]”. 《Journal de mathematiques pures et appliquées (4e série)1: 167–244.  URL과 위키 링크가 충돌함 (도움말)
  2. Hopf, Heinz (1926년 12월). “Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen”. 《Mathematische Annalen95 (1): 340–367. doi:10.1007/BF01206615.