푸앵카레-호프 정리

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미분위상수학에서, 푸앵카레-호프 정리(영어: Poincaré–Hopf theorem)는 다양체의 오일러 지표를 다양체 위에 존재하는 "일반적" 벡터장의 해석적 데이터와 연관짓는 정리다.

역사와 어원[편집]

앙리 푸앵카레하인츠 호프의 이름을 땄다. 푸앵카레는 2차원의 경우를 증명하였고,[1] 호프는 이를 고차원으로 일반화하였다.[2]

정의[편집]

벡터장의 지표[편집]

n차원 미분다양체 M 위에 벡터장 v를 생각하자. 이 벡터장의 영점(v(x)=0x\in M)들이 고립되었다(isolated)고 하자. 즉, 영점 x\in M에 대하여, x를 포함하고 x와 다른 영점들을 포함하지 않는 근방 D\ni x가 존재한다. 이 근방 D는 항상 닫힌 n차원 위상동형이게 잡을 수 있다. 그렇다면 임의로 국소좌표계를 잡아, 함수 u_x\colon\partial D\to S^{n-1}y\mapsto v(y)/\Vert v(y)\Vert로 정의할 수 있다. 영점x지표(index) \operatorname{ind}_x(v)는 함수 u차수 \deg u이다. 이는 국소좌표계나 D에 의존하지 않는 값이다.

고립된 영점을 가진 벡터장의 지표는 그 영점들의 지표들의 합이다. 즉,

\operatorname{ind}(v)=\sum_x\operatorname{ind}_x(v)=\sum_x\deg u_x

푸앵카레-호프 정리[편집]

M콤팩트 가향다양체라고 하자. 그렇다면 M오일러 지표M 위에 존재하는 고립된 영점들을 가지는 임의의 벡터장의 지표와 같다.

\operatorname{ind}(v)=\chi(M)

이 사실을 푸앵카레-호프 정리라고 한다.

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2차원 는 오일러 지표가 2이다. 따라서 구 위에는 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재하지 않는다. 이 사실을 털난 공 정리(hairy ball theorem)이라고 하기도 한다. 구 위에 다음과 같이 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장 또는 지표가 1인 두 개의 벡터장을 잡을 수 있다. 반면, 2차원 원환면은 오일어 지표가 0이므로, 다음과 같이 영점을 가지지 않는 벡터장이 존재한다.

위에, 지표가 2인 하나의 영점을 가진 벡터장  
구 위에, 지표가 1인 두 개의 영점을 가진 벡터장  
원환면 위에, 영점을 가지지 않는 벡터장  

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Poincaré, Henri (1885년). Sur les courbes définies par les équations différentielles III. 《Journal de mathematiques pures et appliquées (4e série)》 1: 167–244.
  2. (독일어) Hopf, Heinz (1926년 12월). Über die Curvatura integra geschlossener Hyperflächen. 《Mathematische Annalen》 95 (1): 340–367. doi:10.1007/BF01206615.