수론에서 투에 보조정리(-補助定理, 영어: Thue's lemma)는 일차 합동 방정식이 다소 작은 해를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다. 비둘기집 원리의 수론에서의 한 가지 응용이다. 페르마 두 제곱수 정리의 증명에 사용된다.
양의 정수
이 정수
와 서로소라고 하자. 투에 보조정리에 따르면, 다음을 만족시키는 정수
가 존재한다.[1]:264-265
![{\displaystyle 0<|x|,|y|\leq {\sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139c8c05e4221445b3b078281cdc60b790bca9e8)
![{\displaystyle ax\equiv y{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30390d36bd102d7930a477e206ced788ef6a9f60)
혹자[2]:43는 다음과 같은 명제를 투에 보조정리로 삼는다. 정수
가
라고 하자. 그렇다면, 다음을 만족시키는 정수
가 존재한다.
![{\displaystyle 0<|x|<x^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e9fcfebf66a338c305c8875b713f98a6ff552d)
![{\displaystyle 0<|y|<y^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d45cadd69d062656895f657c243f0bf2ae92ef)
![{\displaystyle ax\equiv y{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2fdd61744069dafe3d475512a073f761a5e24ea)
다음과 같은 집합을 생각하자.[1]:264-265
![{\displaystyle \{ax-y\colon 0\leq x,y\leq \lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ,\;x,y\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1058c523b1a70c92052150dacd55f5a9c7ce90de)
0과
사이의 두 정수의 쌍은
개이며,
이므로, 다음과 같은 정수
가 존재한다.
![{\displaystyle (x',y')\neq (x'',y'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e502c4ef36b68638c865fd0bed7f0149836b42ff)
![{\displaystyle ax'-y'\equiv ax''-y''{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7add28c8b85728745e50da954a2f20fb6a5c67a8)
즉,
,
라고 하면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle 0\leq |x|,|y|\leq {\sqrt {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bffe391dcc682c9c37645ad8e0292a03e5d027)
![{\displaystyle ax\equiv y{\pmod {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30390d36bd102d7930a477e206ced788ef6a9f60)
만약
이거나
이라면, 위와 같은 합동과
의 서로소에 따라
이다. 이는
에 모순이다. 따라서,
이다.
노르웨이의 수학자 악셀 투에가 처음 증명하였다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]