최대가능도 방법

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최대가능도방법 (最大可能度方法, 영어: maximum likelihood method) 또는 최대우도법(最大尤度法)은 어떤 확률변수에서 표집한 값들을 토대로 그 확률변수의 모수를 구하는 방법이다. 어떤 모수가 주어졌을 때, 원하는 값들이 나올 가능도를 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다. 점추정 방식에 속한다.

방법[편집]

어떤 모수 로 결정되는 확률변수들의 모임 이 있고, 확률 밀도 함수확률 질량 함수이고, 그 확률변수들에서 각각 값 을 얻었을 경우, 가능도 는 다음과 같다.

여기에서 가능도를 최대로 만드는

가 된다.

이때 이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, 은 다음과 같이 표현이 가능하다.

또한, 로그함수단조 증가하므로, 에 로그를 씌운 값의 최댓값은 원래 값 과 같고, 이 경우 계산이 비교적 간단해진다.

예제: 가우스 분포[편집]

평균 분산 의 값을 모르는 정규분포에서 의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 이다. 정규분포확률 밀도 함수

이고, 가 모두 독립이므로

양변에 로그를 씌우면

가 된다. 식의 값을 최대화하는 모수를 찾기 위해, 양변을 로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 로 편미분하면

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 다음과 같다.

참고 문헌[편집]

  • Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). 《Theory of Point Estimation》 (영어) 2판. Springer. ISBN 0-387-98502-6. 
  • Shao, Jun (1998). 《Mathematical Statistics》 (영어). New York: Springer. ISBN 0-387-98674-X. 

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