이론물리학에서 초입자(超粒子, 영어: superparticle)는 초공간 속을 움직이는 입자이다.[1][2]:§3 초장의 한 양자를 나타내며, 그 힐베르트 공간은 그 초다중항에 속하는 입자들의 (1입자) 힐베르트 공간들의 직합이다.
우선, 무질량 비초대칭 입자는 다음과 같이 묘사된다. 그 좌표가
라고 하자. 그렇다면, 운동 방정식은
![{\displaystyle \eta ^{ab}p_{a}p^{b}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff16a1276479f112a865eb9ca453a9d4878439a6)
이다. 이에 따라서, 세계선 위의 라그랑지언
![{\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)p_{a}-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93c3a288396971cf906ef746be7e9de0148a5e70)
을 적을 수 있다. 여기서
는 세계선의 임의의 좌표이며, 윗점은
를 뜻한다.
는 상수 계량 텐서이다.
는 세계선의 1×1 필바인이며, 이는 세계선 미분 동형 사상 게이지 대칭의 게이지 장이다. 이는 또한 운동 방정식
의 라그랑주 승수이다.
는 시공간의 필바인이다. 즉,
가 시공간의 계량 텐서이다.
는 입자의 위치이며,
는 입자의 운동량이다. 이들은 독립된 장으로 취급한다.
이제,
에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각 다음과 같다.
: ![{\displaystyle p^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbf6836af07f8854f7b20cf2704b8e8e853dabf)
: ![{\displaystyle (\partial /\partial t)e_{m}{}^{a}p_{a}={\dot {x}}^{m}p_{a}\partial e_{m}{}^{a}/\partial x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c86a9c1aa2a1a5edebf148f0ef0d96354da0bb2)
: ![{\displaystyle {\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)=\lambda \eta ^{ab}p_{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c43683476fda420cb1a5a6d0d39f73e2cbfd78b)
특히,
의 값은 운동 방정식으로 결정되지 않으며, 이는 게이지 변환으로 사실 (예를 들어)
로 게이지 고정을 가할 수 있다. 이를 가하고,
의 운동 방정식을 사용하여
를
에 대한 표현
![{\displaystyle p_{a}=\eta _{ab}{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d676bcb520ac26b05fbaf44d2da9ab9c7d0daeb2)
로 대체하면, 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,{\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}\eta _{ab}e_{n}{}^{b}{\dot {x}}^{n}=\int \mathrm {d} tg_{mn}{\dot {x}}^{m}{\dot {x}}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf70fcc3cf902ba411ccc9242ae316dd736ffe4)
초입자[편집]
초입자는 초공간 속에서 움직이는 입자이다. 즉, 그 좌표는
![{\displaystyle x^{M}=(x^{m},\theta ^{\mu })\in \mathbb {R} ^{D|D'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6472edc5e14be1b825521f2d6b35302790cd6561)
의 꼴이며, 여기서
은 실제 공간 벡터의 지수,
는 어떤 스피너 지수를 뜻한다.
초입자의 운동은 다음과 같은 두 운동 방정식으로 결정된다.
![{\displaystyle \eta ^{ab}p_{a}p_{b}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d18f927c2169b0a132646d76eebe0b8980701619)
![{\displaystyle p_{a}\gamma ^{a}d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a7e585372bb0841861e6636082b4b9c82a600d)
여기서
는 각각
과
에 대한 일반화 운동량이다. (첫째 식은 일반 입자에도 존재하지만, 둘째 식은 초입자 고유의 것이다.)
이제, 다음과 같은 라그랑지언을 생각하자.
![{\displaystyle L=\int \mathrm {d} t\,\left({\dot {x}}^{M}e_{M}{}^{A}\,-{\frac {1}{2}}\lambda \eta ^{ab}p_{a}p_{b}-\mathrm {i} \lambda '(p_{a}\gamma ^{a})d=0\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b386e5659002602b972de810441139f5bc4e544d)
여기서
는 세계선의 (임의의) 좌표이다. 이에 대한 미분은 윗점
로 표기된다.
는 초입자의, 초공간 속의 좌표이다.
,
는 두 운동 방정식에 대한 라그랑주 승수이다.
는 스칼라이며,
은 스피너이다. 이들은 또한 게이지 변환의 게이지 장을 이루며, 이에 따라
,
인 게이지를 고를 수 있다.
또한, 시공간 초필바인의 성분은 다음과 같다.
![{\displaystyle e_{M}{}^{A}(x,\theta )={\begin{pmatrix}e_{m}{}^{a}(x)&0\\-\mathrm {i} \gamma ^{a}\theta &\delta _{\mu }^{\alpha }\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5818925d151b007137208fa8995f0bee87838a5)
그렇다면,
,
에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 각각
![{\displaystyle p^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cbf6836af07f8854f7b20cf2704b8e8e853dabf)
![{\displaystyle p_{a}\gamma ^{a}d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a7e585372bb0841861e6636082b4b9c82a600d)
이 되며,
에 대한 오일러-라그랑주 방정식은
![{\displaystyle ({\dot {x}}^{m}e_{m}{}^{a}(x)-\mathrm {i} {\dot {\theta }}\gamma ^{a}\theta )=\lambda \eta ^{ab}p_{b}+\mathrm {i} \lambda '\gamma ^{a}d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4af42f4a52753e4005224cfb94aba9bab767660)
![{\displaystyle {\dot {\theta }}^{\beta }=\mathrm {i} p_{a}\lambda '_{\alpha }\gamma ^{a\alpha \beta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f87f64ce2df9d7064ce8f8060621acbf104e75)
이다. 이는 운동량
와 초운동량
를 초공간 좌표
로부터 결정한다.
만약
,
게이지를 사용할 경우,
![{\displaystyle p_{a}={\dot {x}}^{m}e_{ma}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bdd264f23b8a1e432ac7a88f701caf5b8834aa)
![{\displaystyle {\dot {\theta }}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95c96e2211df57d8fee58660f0a6f9a3d8d1991)
가 된다.
외부 링크[편집]