일반화 고유벡터

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선형대수학에서, 일반화 고유벡터(영어: generalized eigenvector)는 비대칭 행렬의 대수적 중복도가 기하적 중복도와 일치하지 않을 때, 모자라는 고유벡터들을 대신하는 벡터들이다.

정의[편집]

복소 정사각행렬 고윳값 대수적 중복도라고 하자. 그렇다면, 고윳값 일반화 고유벡터 는 다음 성질을 만족시키는 벡터이다.

모든 고유벡터는 일반화 고유벡터이지만, 만약 고윳값의 대수적 중복도가 기하적 중복도를 초과하면, 고유벡터가 아닌 일반화 고유벡터가 존재한다.

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다음과 같은 행렬을 생각하자.

의 고윳값은 1밖에 없으며, 그 기하적 중복도는 1이지만 대수적 중복도는 2이다. 이 경우, 의 고유벡터는

하나밖에 없다. 이 경우,

이므로, 모든 벡터가 의 일반화 고유벡터가 된다. 즉, 는 총 2개의 (선형독립) 일반화 고유벡터를 가지며, 그 가운데 하나는 고유벡터를 이룬다.

외부 링크[편집]