에르되시-세케레시 정리

17개 점 집합에서 위쪽으로 기울어진 모서리 4개의 경로. 에르되시-세케레시 정리에 따르면 모든 점 17개의 집합에는 위 또는 아래로 기울어지는 이 길이의 경로가 존재한다. 중심점이 제거된 점 16개의 부분 집합에는 이러한 경로가 없다.

수학에서 에르되시-세케레시 정리는 주어진 $r$, $s$에 대해 길이가 $(r-1)(s-1)+1$ 이상인 서로 다른 실수들의 수열은 길이 $r$의 단조 증가하는 부분수열 또는 길이 $s$의 단조 감소하는 부분수열을 포함한다는 정리이다. 증명은 해피 엔딩 문제를 언급한 동일한 1935년 논문에 나타났다.

에르되시-세케레시 정리는 정확히 램지의 정리의 따름정리가 되는 유한한 결과 중 하나이다. 램지의 정리를 사용하면 모든 서로 다른 실수로 이루어진 무한 수열이 단조 증가하는 무한 부분 수열 또는 단조 감소하는 무한 부분 수열을 포함한다는 것을 쉽게 증명할 수 있지만 에르되시 팔과 세케레시 죄르지가 증명한 결과는 더 나아간다.

예시

$r=3$과 $s=2$의 경우에 공식에 의해 세 수의 모든 순열이 길이 3의 증가하는 부분 수열 또는 길이 2의 감소하는 부분 수열을 갖는다. 숫자 1,2,3의 6가지 순열 중:

• 1,2,3은 세 수 모두로 구성된 증가하는 부분 수열을 갖는다.
• 1,3,2는 감소하는 부분 수열 3,2를 갖는다.
• 2,1,3은 감소하는 부분 수열 2,1을 갖는다.
• 2,3,1은 두 개의 감소하는 부분 수열, 2,1과 3,1을 갖는다.
• 3,1,2는 두 개의 감소하는 부분 수열 3,1과 3,2를 갖는다.
• 3,2,1은 세 개의 감소하는 부분 수열 3,2, 3,1, 2,1을 갖는다.

다른 해석

기하학적 해석

수열에 있는 수의 위치를 유클리드 평면에 있는 점의 x 좌표로 해석하고 수 자체를 y 좌표로 해석할 수 있다. 반대로 평면에 있는 모든 점에 대해 두 점이 동일한 x 좌표를 갖지 않는 한 x 좌표로 정렬된 점의 y 좌표는 수열을 형성한다. 수열과 점 집합 사이의 이러한 변환으로 에르되시-세케레시 정리는 다음과 같이 해석될 수 있다: 적어도 점 $rs-r-s+2$개를 갖는 모든 집합에서 양의 기울기 모서리 $r-1$개 또는 음의 기울기 모서리 $s-1$개로 이루어진 다각형 경로를 찾을 수 있다. 특히 $r=s$인 경우 최소한 $n$개의 점 집합에서 동일한 부호 기울기를 가진 최소한 $\left\lfloor {\sqrt {n-1}}\right\rfloor$개의 모서리를 갖는 다각형 경로를 찾을 수 있다. 예를 들어 $r=s=5$ 을 취하면 17개 이상의 점으로 구성된 모든 집합은 모든 기울기가 동일한 부호를 갖는 모서리 4개의 경로를 갖는다.

$(r-1)\times (s-1)$ 격자를 약간 회전시켜 이러한 경로가 포함하지 않는 점 $rs-r-s+1$개의 집합을 구성할 수 있고, 이는 이 경계가 정확하다는 것을 보여준다.

증명

에르되시-세케레시 정리는 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. Steele (1995)은 다음 두 가지를 포함하여 에르되시-세케레스 정리의 여섯 가지 다른 증명을 조사하였다. Steele이 조사한 다른 증명에는 에르되시와 세케레시의 원본 증명과, Blackwell (1971), Hammersley (1972), 및 Lovász (1979)의 증명이 포함된다.

비둘기집 원리

길이 $(r-1)(s-1)+1$의 주어진 수열에 대해, 수열의 각 수 $n_{i}$에 $(a_{i},b_{i})$ 쌍을 붙인다. 이때 $a_{i}$는 $n_{i}$로 끝나는 가장 긴 단조 증가 부분 수열의 길이이고 $b_{i}$는 $n_{i}$로 끝나는 가장 긴 단조 감소 부분 수열 끝의 길이이다. 수열의 서로 다른 두 수는 다른 값의 쌍이 붙는다. $i<j$이고 $n_{i}\leq n_{j}$이면 $a_{i}<a_{j}$이고, $n_{i}\geq n_{j}$이면 $b_{i}<b_{j}$이다. $a_{i}$가 $r$보다 작고 $b_{i}$가 $s$보다 작은 쌍은 많아야 $(r-1)(s-1)$개 존재한다. 따라서 비둘기집 원리에 의해 $a_{i}$ 또는 $b_{i}$가 범위 바깥에 있는 $i$값이 존재한다. $a_{i}$가 범위를 벗어나면 $n_{i}$는 길이 $r$ 이상인 증가 부분 수열의 일부이고, $b_{i}$가 범위를 벗어나면 $n_{i}$는 길이 $s$ 이상인 감소 부분 수열의 일부이다.

스틸은 Seidenberg (1959)의 한 쪽 짜리 논문을 그가 조사한 증명 중 "가장 매끄럽고 체계적인" 증명으로 인정했다.

같이 보기

• 최장 증가 부분 수열 문제

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Erdős-Szekeres Theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.