아인슈타인 반경

아인슈타인 반경(Einstein radius)은 아인슈타인 고리의 반경이다. 중력렌즈를 일반화하여 설명할 때 유용하게 사용되는 개념이다.

이하 유도에서 우리는 렌즈 역할을 하는 천체 $L$의 모든 질량 $M$이 은하 중심에 한 점으로 집중되어 있다고 가정한다.

광원 은하의 실제 위치와 천구상에서의 위치 사이의 각거리 $\alpha$는 그 크기가 매우 작으며, $\alpha$는 다음과 같이 나타낼 수 있다(슈바르츠실트 계량 참조).

$\alpha ={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}$

이때

$b$는 충돌경수(광원의 빛이 지나가는 경로 중 렌즈 질량중심에서 가장 가까운 지점까지의 거리)

$G$는 중력상수

$c$는 광속이다.

위 그림의 모든 각도들이 매우 작고 단위가 라디안일 때 렌즈 역할을 하는 천체까지의 거리 $D_{\rm {L}}$과 천구상에서 렌즈 역할을 하는 천체와 광원 천체 사이의 겉보기 각거리 $\theta _{1}$은 다음 관계를 갖는다.

$b={\theta _{1}}{D_{\rm {L}}}$

그리고 $\alpha$를 다음과 같이 다시 표현할 수 있다.

$\alpha (\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{D_{\rm {L}}}}$ (식 1)

렌즈 역할 천체와 광원 천체의 실제 위치 사이의 각거리를 $\theta _{\rm {S}}$로 잡으면

$\theta _{1}\;D_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;D_{\rm {S}}+\alpha \;D_{\rm {LS}}$

이것을 다시 쓰면

$\alpha (\theta _{1})={\frac {D_{\rm {S}}}{D_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})$ (식 2)

(식 1)과 (식 2)가 같다고 한 뒤 식을 정리하면

$\theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {S}}D_{\rm {L}}}}$

렌즈 너머의 광원이 관찰자-렌즈와 일직선상에 있을 때, 즉 $\theta _{\rm {S}}=0$일 때 $\theta _{1}$ 값을 아인슈타인 반경이라고 하며, 기호는 $\theta _{\rm {E}}$이다. 위 식에 $\theta _{\rm {S}}=0$을 대입하여 $\theta _{1}$에 대하여 풀면

$\theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {D_{\rm {LS}}}{D_{\rm {L}}D_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}$

$\theta _{\rm {S}}\neq 0$ → $\theta _{\rm {S}}=0$ → $\theta _{\rm {S}}\neq 0$ 순서로 변화한다.

결국

$\theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}$

이므로 이것을 $\theta _{1}$에 대한 2차방정식 ${\theta _{1}}^{2}-\theta _{\rm {S}}{\theta _{1}}-\theta _{E}^{2}=0$으로 생각하면

${\theta _{1}}_{\pm }={{\theta _{\rm {S}}\pm {\sqrt {{\theta _{\rm {S}}}^{2}+4\theta _{\rm {E}}}}} \over 2}$

$\theta _{\rm {S}}=0$이면 ${\theta _{1}}_{+}={\theta _{1}}_{-}=\theta _{\rm {E}}$ 로 광원 천체가 렌즈 천체 주위의 고리 모양으로 보이며, 이것을 아인슈타인 고리라고 한다. 아인슈타인 고리의 반경은 아인슈타인 반경과 같다.

$\theta _{\rm {S}}\neq 0$이면 광원 천체는 렌즈 천체 주위에 아인슈타인 반경보다 큰 반경의 호가 하나, 아인슈타인 반경보다 작은 반경의 호가 하나의 모습으로 보이게 된다.

같이 보기

• 아인슈타인 고리

참고 자료

• Chwolson, O (1924). “Über eine mögliche Form fiktiver Doppelsterne”. Astronomische Nachrichten 221 (20): 329–330. Bibcode:1924AN....221..329C. doi:10.1002/asna.19242212003.  (The first paper to propose rings)
• Einstein, Albert (1936). “Lens-like Action of a Star by the Deviation of Light in the Gravitational Field”. Science 84 (2188): 506–507. Bibcode:1936Sci....84..506E. doi:10.1126/science.84.2188.506. JSTOR 1663250. PMID 17769014.  (The famous Einstein Ring paper)
• Renn, Jurgen; Tilman Sauer and John Stachel (1997). “The Origin of Gravitational Lensing: A Postscript to Einstein's 1936 Science paper”. Science 275 (5297): 184–186. Bibcode:1997Sci...275..184R. doi:10.1126/science.275.5297.184. PMID 8985006.