변분 원리

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양자역학에서, 변분 원리(變分原理, variational principle)는 해밀토니언바닥 상태 에너지를 근사하는 계산법이다. 양자역학물리 화학에서 쓰인다. 하트리-폭 방법이 한 예이다.

정의[편집]

해밀토니언 H의 바닥 상태 |0\rangle는 그 에너지 기대값이 최소가 되는 상태다. 즉, 다음 표현의 최소값이다.

E(|\psi\rangle)=\langle\psi|H|\psi\rangle.

따라서, 바닥 상태의 에너지 E(|0\rangle)=E_0은 임의의 상태의 에너지 기대값보다 같거나 작다. 식으로 쓰면 다음과 같다.

E_0\le\langle\psi|H|\psi\rangle (임의의 |\psi\rangle에 대하여)

변분 원리를 통해 바닥 상태의 에너지 E_0을 찾으려면, 우선 바닥 상태가 될 만한 시험 파동함수(trial wave function) |\psi\rangle를 어림짐작으로 고른다. 그렇다면 이 상태의 에너지 기대값을 계산하여 바닥 상태의 상계(上界, upper bound)를 얻을 수 있다.

보통 시험 파동함수에는 몇 개의 매개변수를 둔다. 예를 들어, 매개변수 \lambda를 둔 시험 파동함수 |\psi(\lambda)\rangle를 생각해 보자. 그렇다면 E(\lambda)=\langle\psi(\lambda)|H|\psi(\lambda)\rangle를 최소화시키는 값 \lambda_{\text{min}}

\left.\frac{dE}{d\lambda}\right|_{\lambda=\lambda_{\text{min}}}=0

을 풀어 구할 수 있다. 그렇다면 |\psi(\lambda_{\text{min}})\rangle을 바닥 상태의 근사값으로, E(\lambda_\text{min})을 바닥 에너지의 근사값으로 취한다. 두 개 이상의 매개변수를 가진 시험 파동함수도 마찬가지로 다룰 수 있다.

참고 문헌[편집]

  • Sakurai, Jun John (1994). 《Modern Quantum Mechanics》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2