무연근 (無緣根, Extraneous and missing solutions )
다항방정식은 해 를 구하는 유도과정을 거쳐서 근 을 찾게 되는데,[1] 다항식 이 유리방정식(분수방정식) 이나 무리방정식 의 경우라면, 해로서 구한 근이 다항방정식의 근이기도 하지만 원래의 유리방정식이나 무리방정식의 근이 아닌 것이 해로 포함되어 나타낼 때가 있다. 이와 같은 근을 무연근이라고 한다.[2]
따라서 유리방정식이나 무리방정식의 근의 경우에는 찾은 근을 원래의 다항식에 대입하여 다항방정식이 성립되지 않는 무연근을 찾아 제외해야 하는 검산을 거쳐야 한다.
유리방정식의 경우 [ 편집 ] 유리방정식은 분모에 미지수를 포함하는 분수식으로 이루어지는 방정식이다. 유리방정식을 풀 때에는 각 항의 분모의 최소공배수를 양변에 곱하여 다항방정식으로 고쳐서 푼다. 여기서 나온 해 중에서 유리방정식이 성립하지 않는 근을 무연근 이라고 하며, 무연근은 해집합에서 제외한다.
1
x
+
2
(
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle {1 \over x}+{2 \over (x+1)}=0}
1
x
=
−
2
(
x
+
1
)
{\displaystyle {1 \over x}=-{2 \over (x+1)}}
1
⋅
(
x
)
(
x
+
1
)
x
=
−
2
⋅
(
x
)
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
{\displaystyle {1\cdot (x)(x+1) \over x}=-{2\cdot (x)(x+1) \over (x+1)}}
1
⋅
(
x
)
(
x
+
1
)
x
+
2
⋅
(
x
)
(
x
+
1
)
(
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle {1\cdot (x)(x+1) \over x}+{2\cdot (x)(x+1) \over (x+1)}=0}
(
x
+
1
)
+
2
(
x
)
=
0
{\displaystyle {(x+1)}+{2(x)}=0}
3
x
=
−
1
{\displaystyle 3x=-1}
x
=
−
1
3
{\displaystyle x=-{1 \over 3}}
x
=
−
1
3
{\displaystyle x=-{1 \over 3}}
1
x
+
2
(
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle \;{1 \over x}+{2 \over (x+1)}=0}
1
x
=
−
2
(
x
+
1
)
{\displaystyle {1 \over x}=-{2 \over (x+1)}}
1
(
−
1
3
)
=
−
2
(
−
1
3
+
1
)
{\displaystyle {1 \over \left(-{1 \over 3}\right)}=-{2 \over \left(-{1 \over 3}+1\right)}}
−
3
=
−
2
(
−
1
+
3
3
)
{\displaystyle -3=-{2 \over \left({{-1+3} \over 3}\right)}}
−
3
=
−
2
(
2
3
)
{\displaystyle -3=-{2 \over \left({{2} \over 3}\right)}}
−
3
=
−
6
2
{\displaystyle -3=-{6 \over 2}}
−
3
=
−
3
{\displaystyle -3=-3}
양변이 같으므로
x
=
−
1
3
{\displaystyle x=-{1 \over 3}\;}
그러므로,
1
x
+
2
(
x
+
1
)
=
0
{\displaystyle {1 \over x}+{2 \over (x+1)}=0}
x
=
−
1
3
{\displaystyle x=-{1 \over 3}\;}
무리방정식의 경우 [ 편집 ] 방정식의 항에 무리수 를 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리방정식이라 한다.
무리방정식
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
x
+
1
=
k
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}=k}
치환 하면,
(
x
+
1
)
2
=
(
k
)
2
{\displaystyle ({\sqrt {x+1}})^{2}=(k)^{2}}
x
+
1
=
k
2
{\displaystyle x+1=k^{2}}
x
=
k
2
−
1
{\displaystyle x=k^{2}-1}
(
k
2
−
1
)
+
k
−
1
=
0
{\displaystyle (k^{2}-1)+k-1=0}
k
2
+
k
−
2
=
0
{\displaystyle k^{2}+k-2=0}
이것은 이차방정식이므로 근의 공식을 대입하면,
k
=
−
1
±
1
2
−
(
4
⋅
−
2
)
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {1^{2}-(4\cdot -2)}}} \over {2}}}
k
=
−
1
±
1
+
8
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {1+8}}} \over {2}}}
k
=
−
1
±
9
2
{\displaystyle k={{-1\pm {\sqrt {9}}} \over {2}}}
k
=
−
1
+
9
2
,
−
1
−
9
2
{\displaystyle k={{-1+{\sqrt {9}}} \over {2}},{{-1-{\sqrt {9}}} \over {2}}}
k
=
−
1
+
3
2
,
−
1
−
3
2
{\displaystyle k={{-1+3} \over {2}},{{-1-3} \over {2}}}
k
=
2
2
,
−
4
2
{\displaystyle k={2 \over {2}},{-4 \over {2}}}
k
=
1
,
−
2
{\displaystyle k={1},{-2}}
치환 을 정리하면,
x
=
k
2
−
1
,
k
=
1
,
−
2
{\displaystyle x=k^{2}-1,k={1},{-2}}
k
=
1
{\displaystyle k={1}}
x
=
(
1
)
2
−
1
{\displaystyle x=(1)^{2}-1}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
0
+
0
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle 0+{\sqrt {0+1}}-1=0}
0
=
0
{\displaystyle 0=0}
k
=
−
2
{\displaystyle k={-2}}
x
=
(
−
2
)
2
−
1
{\displaystyle x=(-2)^{2}-1}
x
=
4
−
1
{\displaystyle x=4-1}
x
=
3
{\displaystyle x=3}
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
3
+
3
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle 3+{\sqrt {3+1}}-1=0}
3
+
4
−
1
=
0
{\displaystyle 3+{\sqrt {4}}-1=0}
3
+
2
−
1
=
0
{\displaystyle 3+2-1=0}
4
=
0
{\displaystyle 4=0}
4
≠
0
{\displaystyle 4\neq 0}
따라서,
x
+
x
+
1
−
1
=
0
{\displaystyle x+{\sqrt {x+1}}-1=0}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
같이 보기 [ 편집 ] 
