모르-마스케로니 정리

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모르-마스케로니 정리(Mohr-Mascheroni theorem, -定理)는 기하학작도 문제에 대한 정리이다. 덴마크 수학자 게오르그 모르(Georg Mohr)와 이탈리아 수학자 로렌초 마스케로니(Lorenzo Mascheroni)의 이름이 붙어 있다. 그 내용은 다음과 같다.

  • 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 작도 가능한 모든 도형은 컴퍼스만으로도 작도할 수 있다.

이 정리는 1672년 모르가 먼저 증명하여 출판하였으나, 당시 모르의 저작은 당대의 학술 공용어인 라틴어가 아닌 덴마크어로 쓰여진 것이라 1928년까지 잊혀졌다 덴마크의 헌책방에서 발견되었다. 모르의 원 저작이 발견되기 이전 이 정리는 마스케로니가 1797년 독립적으로 증명하여 나폴레옹에게 헌정된 자신의 책 『컴퍼스의 기하학』(이탈리아어: La Geometria del Compasso 라 제오메트리아 델 콤파소[*])에 실었다. 반대로 눈금 없는 자만으로 작도하는 경우는 퐁슬레-슈타이너 정리로 주어진다.

증명을 위해서는 작도 가능점을 다음 세 경우로 나누고, 아래의 두 경우가 컴퍼스에 의해서만 작도 가능함을 보이면 된다.

  1. 과 원의 교점
  2. 원과 선분의 교점
  3. 선분과 선분의 교점

마스케로니가 제시한 이 정리의 원 증명은 상당히 복잡하나 최근 몇 가지 새로운 증명이 발견되었다.

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