교류 회로

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교류 회로란 회로 내의 전력 공급원으로부터 발생하는 전류의 양과 방향이 주기적으로 바뀌는 회로를 말한다. 교류의 종류로는 사인파, 삼각파, 사각파 등이 있으며 그 중에서도 사인파가 가장 전형적인 교류라 할 수 있다. 이 때, 삼각파나 사각파를 비롯해 주기성을 띠는 임의의 전류는 사인파의 합성을 이용해 생성가능하다.

저항만 연결된 경우[편집]

저항 회로

전원으로부터 발생하는 전압을 V, 저항체의 저항을 R이라 하자.

전원의 전압이 위와 같이 변한다고 하면 저항체를 지나는 전류는 아래와 같이 구할 수 있다.

여기서 전류의 최댓값을 이라 한다면 위식은 아래와 같이 변형가능하다.

축전기만 연결된 경우[편집]

축전기 회로

전압을 V, 축전기의 전기용량을 C, 축전기의 전하량을 Q라 하면

따라서 축전기에 흐르는 전류는

가 된다. 위의 식에서도 확인할 수 있듯, 축전기가 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

코일만 연결된 경우[편집]

코일 회로

전압을 V, 코일의 유도용량을 L이라 하면

이므로 시간에 따른 전류를 아래 식으로 표현할 수 있다.

역시 축전기만 연결된 경우와 마찬가지로 코일이 있을 때, 전압과 전류는 90도의 위상차를 갖는다.

저항, 축전기, 코일의 직렬연결[편집]

RLC 회로

저항체의 저항, 축전기의 전기용량, 코일의 유도용량이 각각 R, C, L일 때 저항체, 축전기, 코일을 직렬로 연결한 경우에 대해 키르히호프 정리를 적용하면

이 된다. 이 미분방정식의 해는 아래와 같다.

(인 경우)
(인 경우)
(인 경우)

한편, 이 회로에서 저항이 없는 경우, 즉 R=0인경우의 해는

이다. 이때 회로에서는 에너지 손실이 일어나지 않고 축전기는 영원히 충전과 방전을 반복하는데 이때의 진동수를 고유진동수라 하며 그 값에 를 곱한 값을 고유 각운동량을 고유각운동량이라 한다.

교류 전압이 걸린 RLC회로[편집]

RLC 회로

RLC회로에 교류전압이 걸리는 경우 위 식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있다.

위 이차 미분방정식의 특수해는

(이때, )

이다. 앞에서 우변이 0일 때에 대해서 구한 일반해를 라하면 위 미분방정식의 해는 아래와 같이 표현가능하다.

(이때, )

하지만 이때, 는 시간이 흐름에 따라 지수적으로 감소하므로 전류가 흐른 후 약간의 시간이 흐른 후부터는 를 무시할 수 있다. 위 식을 t에 대해 미분하여 얻을 수 있는 회로에 흐르는 전류의 양은 다음과 같다.

(이때, )

이때, 이라 하면 위 식은

(이때, )

으로 바꿀 수 있으며 이 때

를 RLC회로의 임피던스라 정의한다. RLC회로는 저항이 Z인 회로에 V의 전압이 걸렸을 때와 유사한 모양을 보인다.

공명[편집]

RLC회로에서 인 경우, 즉

인 경우를 공명이라 한다. 공명상태에서는 전압과 전류의 위상차가 0이 되고, 전류의 최댓값이 가장 커진다.