피카르-린델뢰프 정리

동역학계 이론에서, 피카르-린델뢰프 정리(영어: Picard–Lindelöf theorem)는 초기 조건 문제의 해의 존재에 대한 정리이다.

정의

y'(t)=f(t,y(t))

y(t_{0})=y_{0}

에서 $f$ 가 $y$ 에 대하여 립시츠 연속 함수이며, $t$ 에 대하여 연속 함수라고 하자. 그렇다면 $t_{0}$ 의 충분히 작은 근방에서, 위 초기 조건 문제는 유일한 해를 갖는다.

다른 정리와의 관계

피카르-린델뢰프 정리는 해가 존재하며 유일할 충분 조건을 제시한다. 페아노 존재 정리(Peano existence theorem)는 $y$ 에 대하여 립시츠 연속성 대신 연속성만을 가정하고, 해의 존재만을 결론내린다. 즉, 해가 유일하지 않을 수 있다. 카라테오도리 존재 정리(Carathéodory's existence theorem)는 이보다 더 약한 조건을 가정하고, 약한 해(weak solution)의 존재만을 결론내린다.

역사

샤를 에밀 피카르와 에른스트 레오나르드 린델뢰프(스웨덴어: Ernst Leonard Lindelöf)^[1] 가 증명하였다.

참고 문헌

↑ Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 116: 454–457.

Coddington, Earl A.; Norman Levinson (1955). 《Theory of ordinary differential equations》. McGraw-Hill.
Teschl, Gerald (2012). 《Ordinary differential equations and dynamical systems》. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.

바깥 고리

“Cauchy-Lipschitz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's existence theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

[1] Lindelöf, E. (1894). “Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre”. 《Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences》 116: 454–457.

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