W-대수

수학과 등각 장론에서 W-대수(W-代數, 영어: W-algebra)는 2차원 등각 장론의 무질량 고차 스핀 정칙장에 의해 생성되는 대칭이다.^:106–111 비라소로 대수를 일반화한다.

정의

스핀 2

스핀 2의 W-대수 $W_{2}$는 비라소로 대수라고 한다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 $T(z)$에 의해 생성되며, 비라소로 대수를 정의하는 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}$

여기서 $c$는 비라소로 대수의 중심 원소이다. 이를 수로 간주하면, 이는 등각 장론의 중심 전하가 된다.

스핀 3

스핀 3의 W-대수 $W_{3}$는 알렉산드르 자몰롯치코프가 1985년에 발견하였다. 이는 스핀 2의 정칙 1차장 $T(z)$(에너지-운동량 텐서)과 스핀 3의 정칙 1차장 $W(z)$를 가지며, 이들 사이의 연산자 곱 전개는 다음과 같다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}$

$T(z+w)W(w)=z^{-1}\partial W(w)+3z^{-2}W(w)$

$W(z)W(w)={\frac {16}{22+5c}}\left(z^{-1}\partial \Lambda +2z^{-2}\Lambda \right)+{\frac {1}{15}}\left(z^{-1}\partial ^{3}T(w)+{\frac {9}{2}}z^{-2}\partial ^{2}T(w)+15z^{-3}\partial T(w)+30z^{-4}T(w)\right)+{\frac {1}{3}}cz^{-6}$

여기서 $\Lambda$는 다음과 같이 정의되는 스핀-4 연산자이다.

$\Lambda (z)=:TT:(z)-{\frac {3}{10}}\partial ^{2}T(z)$

여기서 $:\cdots :$는 표준 순서를 나타낸다.

$W_{3}$에 대해서도 일련의 유니터리 최소 모형을 정의할 수 있으며, 이들의 중심 전하는 다음과 같다.^:109

$c=2\left(1-{\frac {12}{(k+3)(k+4)}}\right)$

$k=1,2,3,\dots$

특히, $k=1$인 경우($c=4/5$)는 임계 3상태 포츠 모형으로, 이는 $m=5$인 비라소로 최소 모형과 같다.

일반적인 스핀

일반적으로, 모든 $N\geq 2$에 대하여, 스핀-N W-대수 $W_{N}$이 존재한다. 이 경우 구체적인 연산자 곱 전개는 매우 복잡하다.

W-대수 $W_{N}$은 총 $N-1$개의 정칙 연산자들 $T,W^{(3)},W^{(4)},\dots ,W^{(N)}$을 포함한다. 이들의 스핀은 각각 $2,3,\dots ,N$이며, $T$와 $W^{(3)}$는 1차 연산자이지만 $W^{(4)},W^{(5)},\dots$는 준1차(quasiprimary) 연산자이다. 이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같은 꼴이다.

$T(z+w)T(w)=z^{-1}\partial T(w)+2z^{-2}T(w)+{\frac {1}{2}}cz^{-4}$

$T(z+w)W^{(s)}(w)\sim z^{-1}\partial W^{(s)}(w)+sz^{-2}W^{(s)}(w)+W^{(s-2)}(w)+W^{(s-4)}(w)+\cdots (s=3,\dots ,N)$

$W^{(s)}(z+w)W^{(s')}(w)\sim W^{(s+s'-2)}+W^{(s+s'-4)}+\cdots +c\delta _{s-s'}$

여기서, 마지막 두 공식에서는 상수 계수나 $z^{-k}$ 및 $\partial ^{k}$ 등을 생략하였다.

무한 스핀 W-대수

유한한 $N$에 대한 $W_{N}$ 말고도, 2 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 $W_{\infty }$와, 1 이상의 모든 정수 스핀을 포함하는 $W_{1+\infty }$가 존재한다.

참고 문헌

• Bouwknegt, Peter; Kareljan Schoutens (1995). 《W-symmetry》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) 22. World Scientific. ISBN 9789810217624. MR 1338864. 
• Dickey, L. A. (1997). “Lectures on classical W-algebras”. 《Acta Applicandae Mathematicae》 (영어) 47 (3): 243–321. doi:10.1023/A:1017903416906. ISSN 0167-8019.