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2018년 3월월 7일 (수) 09:11 판

번분수(complex fraction)는 분모 또는 분자 또는 분모 및 분자가 분수 식으로 되어 있는 분수를 말한다. 분모, 분자를 각각 계산한다.^[1] ^[2] ^[3]

{\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}

번분수의 연산

{\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{c}}

={{{a} \over {b}} \over {{c} \over {d}}}={{a\cdot d} \over {b\cdot c}}

비례식에서 처럼 "내항의 곱은 외항의 곱과 상관관계가 있다"는 성질을 보여준다.

{{\frac {a}{b}} \over {c}}={{\frac {a}{b}}\cdot {b} \over {{c}\cdot {b}}}={\frac {a}{{c}\cdot {b}}}

{{{{a} \over {b}}\cdot bc} \over {{{c} \over {d}}\cdot bc}}={{{a\cdot c}\cdot d} \over {c\cdot b\cdot c}}={{{a}\cdot d} \over {b\cdot c}}

번분수의 응용

{{a} \over {b}}={{1} \over {{b} \over {a}}}

또는

{{a} \over {b}}=\left({{1-{{b} \over {a}}} \over {{b} \over {a}}}\right)\cdot a

a 는 짝수

{{a} \over {b}}=\left({{1-{{b} \over {a}}} \over {{b} \over {a}}}\right)\cdot {{a} \over {2}}

a 는 홀수

분수의 보수

분수의 보수로서의 번분수 ^[4]

A=1-{{1} \over {k}}

\;\;={{k} \over {k}}-{{1} \over {k}}

\;\;={{k-1} \over {k}}

\;\;={{1} \over {{k} \over {k-1}}}

분수의 번분수 속성

2={2 \over 1}={{2 \over 1} \over {1 \over 1}}={{2} \over 1}={2}

1={1 \over 1}={{1 \over 1} \over {1 \over 1}}={{{1 \over 1} \over {1 \over 1}} \over {{1 \over 1} \over {1 \over 1}}}={{1 \over 1} \over {1 \over 1}}={{1} \over 1}={1}

이처럼 분수가 ${{a} \over {b}}$ 와 같이 분자 ${a}$ 와 분모 ${b}$ 로 표현될때, 이것은 ${a}\div {b}$ 를 의미하는 표현으로 볼수있다.

따라서, ${a}$ 가 ${b}$ 로 나누어진다면,

이것은 $\left({{\text{자 기 자 신 의 정 보 }} \over {\text{전 체 의 정 보 }}}\right)$ 를 의미하는 표현이된다.

즉, 자기자신의 정보가 전체의 정보로 나누어짐을 의미하는 표현이라면,바꾸어말해서,번분수는 자기자신의 정보를 전체의 정보로 나누는 분수의 비율적 상관관계를 잘보여준다고 할수있다.

함께보기

참고

↑ (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/ComplexFraction.html
↑ Trotter, James (1853). A complete system of arithmetic. p. 65.
↑ Barlow, Peter (1814). A new mathematical and philosophical dictionary.
↑ http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html

이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다.

[1] (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/ComplexFraction.html

[2] Trotter, James (1853). A complete system of arithmetic. p. 65.

[3] Barlow, Peter (1814). A new mathematical and philosophical dictionary.

[4] ttp://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html

[1]

[2]

[3]

[4]

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+'''번분수'''(complex fraction)는 분모 또는 분자 또는 분모 및 분자가 [[분수 (수학)| 분수]] 식으로 되어 있는 분수를 말한다. 분모, 분자를 각각 계산한다.<ref>([[매스월드]])http://mathworld.wolfram.com/ComplexFraction.html</ref> <ref>Trotter, James (1853). A complete system of arithmetic. p. 65.</ref> <ref> Barlow, Peter (1814). A new mathematical and philosophical dictionary.</ref>
-[[수학]]에서, '''번분수'''(繁分數, {{llang|en|complex fraction, compound fraction}})는 [[분수 (수학)|분수]]의 분자 또는 분모 또는 둘 다가 분수인 경우를 뜻한다.<ref name="Trotter">{{서적 인용|성=Trotter|이름=James|제목=A complete system of arithmetic|연도=1853|url=https://books.google.co.kr/books?id=a0sDAAAAQAAJ}}</ref>{{rp|65}}<ref name="Barlow">{{서적 인용|성=Barlow|이름=Peter|제목=A new mathematical and philosophical dictionary|연도=1814|url=https://archive.org/details/newmathematicalp00barluoft}}</ref><ref>{{매스월드|id=ComplexFraction|title=Complex fraction|trans-title=번분수}}</ref><ref name="terms">{{웹 인용|제목=번분수|url=http://terms.naver.com/entry.nhn?docId=3338377&cid=47324&categoryId=47324|웹사이트=네이버 지식백과}}</ref><ref name="doopedia">{{웹 인용|제목=번분수[complex fraction,繁分數]|url=http://www.doopedia.co.kr/doopedia/master/master.do?_method=view&MAS_IDX=101013000728695|웹사이트=두피디아}}</ref> 모든 번분수는 일반적인 꼴의 분수로 고쳐 쓸 수 있다. 이는 추상적인 관점에서 [[분수체]]의 분수체는 자기 자신이기 때문이다.
+:<math>\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}</math>
-== 단순화 ==
-분자와 분모가 분수인 번분수
-:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd</math>
-는 분자와 분모가 정수인 분수의 꼴로 단순화할 수 있으며, 결과의 분자와 분모는 각각 [[비례식]] <math>a:b=c:d</math>의 내항 및 외항과 같다. 한 가지 방법은 가장 바깥 쪽의 분수를 [[나눗셈]] 기호로 생각하여 두 분수의 몫을 계산하는 것이다.<ref name="Trotter" />{{rp|78}}<ref name="Barlow" /><ref name="terms" /><ref name="doopedia" />
-:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd=\frac ab\div\frac cd=\frac{ad}{bc}</math>
-또 한 가지 방법은 분수의 분자와 분모에 동시에 같은 0이 아닌 수를 곱하면 분수의 값이 변하지 않는다는 성질을 사용한다.<ref name="terms" /> 분수의 분자와 분모가 [[정수]]가 되기 위해서는 분자의 분모의 [[배수]]이자 분모의 분모의 [[배수]]인 수를 곱해야 하며, 특히 이 둘의 곱을 곱하는수로 삼을 수 있다.
-:<math>\frac{\,\dfrac ab\,}\dfrac cd=\frac{\dfrac ab\times bd}{\dfrac cd\times bd}=\frac{ad}{bc}</math>
+==번분수의 연산==
-== 연분수 ==
+:<math>\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}</math>
-번분수의 분자나 분모 역시 번분수일 수 있다.<ref name="terms" /> [[유한 연분수]]는 번분수의 특수한 경우이다.<ref name="terms" /> 유한 연분수 <math>[a_0;a_1,\dots,a_n]</math>는 다음과 같이 정의된다.
-:<math>[a_0;]=a_0</math>
-:<math>[a_0;a_1,\dots,a_n]=a_0+\frac1{[a_1;a_2,\dots,a_n]}</math>
-예를 들어 다음과 같은 번분수는 연분수이다. 가장 안쪽의 번분수부터 차례대로 정리하여 일반적인 분수 꼴이 되게 할 수 있다.
-:<math>1+\frac1{2+\dfrac13}=1+\frac1{\,\dfrac73\,}=1+\frac37=\frac{10}7</math>
-[[무한 연분수]] <math>[a_0;a_1,a_2,\dots]</math>는 이를 확장한 개념이며, 다음과 같이 극한으로 정의된다.
-:<math>[a_0;a_1,a_2,\dots]=\lim_{n\to\infty}[a_0;a_1,\dots,a_n]</math>
-예를 들어, <math>1=a_0=a_1=a_2=\cdots</math>를 취하면, [[황금비]]의 연분수 표현을 얻는다. 이는 (1, 1, 1, ...)을 유한 연분수의 정의에 대입한 뒤 극한을 취하면, 이 무한 연분수가 방정식 <math>x=1+1/x</math>의 양의 실수 해임을 알 수 있기 때문이다.
+:<math>=  {{ {{a}\over{b}} } \over { {{c}\over{d}}  }}  = {{a \cdot d}\over{b \cdot c}}     </math>
-== 같이 보기 ==
+[[비례식]]에서 처럼  "내항의 곱은  외항의 곱과 상관관계가 있다"는 성질을  보여준다.
-* [[분수 (수학)]]
-* [[나눗셈]]
-== 각주 ==
+:<math>{\frac{a}{b} \over{c}} = {\frac{a}{b} \cdot {b} \over{{c} \cdot {b}}} = \frac{a}{{c} \cdot {b}}</math>
+:<math>  {{ {{a}\over{b}}  \cdot bc} \over { {{c}\over{d}}  \cdot bc }}  = { {{a \cdot c}  \cdot d} \over { c \cdot  b \cdot c}}  = { {{a }  \cdot d} \over {  b \cdot c}}     </math>
+==번분수의 응용==
+<!-- * 분수의 분자와 분모를 뒤바꾸는 경우  -->
+:<math>  { {a}\over{b} }   =  { { 1 } \over {{b}\over{a}} } </math>
+:또는
+:<math>  { {a}\over{b} }   = \left(  { {1- { {b}\over{a} } } \over {{b}\over{a}} }  \right) \cdot a </math>
+: a 는 짝수
+:<math>  { {a}\over{b} }   = \left(  { {1- { {b}\over{a} } } \over {{b}\over{a}} }  \right) \cdot { {a} \over {2} } </math>
+: a 는 홀수
+==분수의 보수==
+분수의 보수로서의 번분수 <ref>http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html</ref>
+:<math>A =  1 - {{1}\over{k}}</math>
+:<math>\;\; = {{k}\over{k}}- {{1}\over{k}}</math>
+<!-- :<math>A = {{1-{{1}\over{k}}}\over{1}} </math>  -->
+:<math>\;\; =  {{k-1}\over{k}}</math>
+:<math>\;\; = {{1}\over{{{k}\over{k-1}}}} </math>
+==분수의  번분수 속성==
+:<math>2= {2 \over 1} = {{ 2 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{2} \over 1}= {2} </math>
+:<math>1= {1 \over 1} = {{ 1 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{ {1\over 1} \over {1\over 1}} \over {{1\over 1} \over{1\over 1}}}= {{ 1 \over 1} \over {1 \over 1}}= {{1} \over 1}= {1} </math>
+이처럼 분수가  <math> {{a} \over {b}}</math>와 같이   분자<math> {a}</math> 와  분모<math>  {b}</math>로 표현될때, 이것은 <math> {a} \div {b}</math>를 의미하는 표현으로 볼수있다.
+따라서, <math> {a}</math>가 <math>  {b}</math>로 나누어진다면,
+이것은  <math> \left({{\text{자  기  자  신   의    정  보    }} \over {\text{전   체    의     정   보    }}} \right)</math> 를 의미하는 표현이된다.
+즉, 자기자신의 정보가 전체의 정보로 나누어짐을 의미하는 표현이라면,바꾸어말해서,번분수는  자기자신의 정보를 전체의 정보로 나누는 분수의 [[비율]]적 상관관계를 잘보여준다고 할수있다.
+==함께보기==
+*[[분수 (수학)| 분수]]
+*[[나눗셈]]
+*[[곱셈]]
+*[[오일러의 곱셈 공식|오일러의 곱셈공식]]
+*[[리만 제타 함수]]
+*[[뤼로스 상수]]
+*[[쌍둥이 소수 상수]]
+==참고==
 {{각주}}
+{{토막글|수학}}
 [[분류:분수]]