정지 위상 근사

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수학에서, 정지 위상 근사(停止位相近似, 영어: stationary phase approximation)는 진동적분을 근사하는 데 사용하는 근사법이다. 이 방법은 진동적분을 위상의 도함수가 0인 곳, 즉 위상이 정지해 있는 곳들만을 고려하여 근사한다.

정의[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n 위에 다음과 같은 꼴의 적분이 있다고 하자.

I(k)=\int_{\mathbb R^n}d^n\mathbf x\,g(\mathbf x)\exp(ikf(\mathbf x))

여기서 fg매끈한 실함수이며, g는 무한대에서 적분이 수렴하도록 충분히 빨리 0으로 간다고 하자. k는 임의의 양의 실수 매개변수이다.

이제, f(\mathbf x)\mathbf x=\mathbf x_0에서 유일한 정류점을 가진다고 하자.

\nabla f(\mathbf x_0)=0

또한, 이 점에서의 헤세 행렬 Hf(\mathbf x_0)고윳값 0을 갖지 않는다고 하며, 양의 고윳값들이 n_+개, 음의 고윳값들이 n_-개라고 하자. 그렇다면 매우 큰 k에 대하여 적분 I(k)를 다음과 같이 근사할 수 있다. 이를 정지 위상 근사라고 한다.

I(k)\approx g(\mathbf x_0)\exp(ikf(\mathbf x_0)+i(n_+-n_-)\pi/4)\sqrt{2\pi/(k|\det Hf(\mathbf x_0)|)}+\mathcal O(1/k)

만약 여러 개의 고립된 정류점들이 존재한다면, 각 점들에서의 값들을 더하면 된다.

유도[편집]

좌표 변환을 통해, 다변수 정지 위상 근사는 1변수의 경우로부터 유도할 수 있다. 1변수의 경우, 정지 위상 근사는 기본적으로 다음과 같은 꼴이다. |k|가 매우 크다면, a에 상관없이 다음이 성립한다.

\int_{-a}^adx\,\exp(ikx^2/2)=\sqrt{2\pi/|k|}\exp((\operatorname{sgn}k)i\pi/4)+\mathcal O(1/k)

여기서 \operatorname{sgn}k=k/|k|\in\{+1,-1\}k의 부호이다. 이 1변수 적분은 쉽게 유도할 수 있다.

역사[편집]

정지 위상 근사는 19세기에 조지 가브리엘 스토크스제1대 켈빈 남작 윌리엄 톰슨이 도입하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Courant, Richard, David Hilbert (1953). 《Methods of mathematical physics》, 2판, New York: Interscience Publishers, 474쪽

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]