에르미트 항등식

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에르미트 항등식이란 샤를 에르미트가 만든 항등식으로 임의의 실수 $x$와 양의 정수 $n$에 대하여 항상 성립하는 항등식이다. 이는 다음과 같다.

$\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]$

(단, $[x]$는 가우스 기호이다. 이는 $x$를 넘지 않는 최대의 정수이다.)

증명

[증명 1-대수(해석)적 증명법]

$f(x)=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]-[nx]$라고 가정하자.

그러므로, $f(x)=0$임을 증명하면 된다.

$x=x+{\frac {1}{n}}$를 대입해 주면,

$f\left(x+{\frac {1}{n}}\right)=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+1\right]-[nx+1]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x\right]+1-[nx]-1=f(x)$

가 된다.

즉, $f(x)$은 주기가 ${\frac {1}{n}}$인 주기함수가 된다.

(추가로 $f(x)=f(x+p)$일 때 $f(x)$는 주기가 $p$인 함수이다.)

그러므로 $0\leq x<{\frac {1}{n}}$인 $x$에 대하여 $f(x)=0$임을 증명하면 되는 것이다.

$0\leq x<{\frac {1}{n}},[x]=0$

$0\leq x+{\frac {1}{n}}<{\frac {2}{n}},\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=0$

.

.

.

$0\leq x+{\frac {n-1}{n}}<1,\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=0$

$0\leq nx<1,[nx]=0$

위의 식을 다 더하면 $f(x)=0$.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

[증명2-정수적 증명(바닥함수의 정의 이용)]

$x=m+\alpha$라고 가정하자. (단, $m$은 정수, $0\leq \alpha <1$이다.)

$[x]=[m+\alpha ]=m,[x+1]=[m+\alpha ]+1=m+1$임을 알 수 있다.

이때, $[x]=\left[x+{\frac {1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {i-1}{n}}\right]=m$,

$\left[x+{\frac {i}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+1}{n}}\right]=\left[x+{\frac {i+2}{n}}\right]=\cdots =\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=m+1$이 성립한다고 가정하면,

$\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=n[x]+n-i$가 성립한다. ($i$는 자연수)

또한, 두 부등식 $\alpha +{\frac {i-1}{n}}<1$, $\alpha +{\frac {i}{n}}\geq 1$을 연립하여 정리하면,

$n-i\leq n\alpha <n-i+1$이 되고 양변에 $n[x]$를 더해 주면,

$n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha <n[x]+n-i+1$이 되고, $x=m+\alpha$ 이므로,

$n[x]+n-i\leq nx<n[x]+n-i+1$이다.

따라서 $[nx]=n[x]+n-i=\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]$이므로,

$\sum _{k=0}^{n-1}\left[x+{\frac {k}{n}}\right]=[x]+\left[x+{\frac {1}{n}}\right]+\left[x+{\frac {2}{n}}\right]+\cdots +\left[x+{\frac {n-1}{n}}\right]=[nx]$

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.