알라디-그린스테드 상수

알라디-그린스테드 상수(Alladi–Grinstead constant)는 알라디 (K. Alladi)와 그린스테드(C. Grinstead)로부터 명명되었다.

알라디-그린스테드 상수는 자연로그의 밑 e에 지수로 작용하는 뤼로스 상수의 1의 보수와 관계있다.

아이디어

$n!$의 몇몇 초기 팩토리얼을 고려해본다.

가장 작은 소수로부터 자연수의 순서로 대상 정수$n$의 개수대로 재정렬한다.

$4!=4\cdot 3!$

$\;\;\;=4\cdot 3\cdot 2$

$\;\;\;=2^{2}\cdot 3\cdot 2$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$

$5!=5\cdot 4!$

$\;\;\;=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2^{2}$

$\;\;\;=2\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$

$6!=6\cdot 5!$

$\;\;\;=2\cdot 3\cdot 5!$

$\;\;\;=2\cdot 3\cdot 2\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5$

$7!=7\cdot 6!$

$\;\;\;=7\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7$

$8!=8\cdot 7!$

$\;\;\;=2^{3}\cdot 7!$

$\;\;\;=2^{3}\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8$

$9!=9\cdot 8!$

$\;\;\;=3^{2}\cdot 8!$

$\;\;\;=3^{2}\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}\cdot 3^{2}$

$\;\;\;=3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 4\cdot 5\cdot 7\cdot 8$

$10!=10\cdot 9!$

$\;\;\;=2\cdot 5\cdot 9!$

$\;\;\;=2\cdot 5\cdot 3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=3^{2}\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{2}\cdot 2\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 2^{3}\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 2^{2}\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 2^{3}\cdot 2^{3}$

$\;\;\;=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 8\cdot 8$

팩토리얼 정보가 소수의 제곱의 정보로 이동된다.

$\alpha (n)={{\ln p} \over {\ln n}}$

$p=m(n)=max\left(P^{begin}\right)$

$p$는 $n!$에서 재정렬후 가장 처음에오는 수의 소수제곱정보의 그 소수값$P$이다.

계산

$\alpha (8)={{\ln 2} \over {\ln 8}}={{\ln 2} \over {\ln 2^{3}}}={{\ln 2} \over {3\ln 2}}={1 \over 3}=0.3333\cdots$

$\alpha (9)={{\ln 3} \over {\ln 9}}={{\ln 3} \over {\ln 3^{2}}}={{\ln 3} \over {2\ln 3}}={1 \over 2}=0.5$

$n$이 무한히 커지면서 $0.8093940205....$에 접근한다.

$\lim _{n\to \infty }\alpha (n)=e^{c-1}=0.8093940205....(OEISA085291)$

$c=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {{k} \over {k-1}}\;\;\;c$는 뤼로스 상수

$c=\sum _{n=1}^{\infty }{{\zeta (n+1)-1} \over {n}}\;\;\;\zeta$는 리만제타함수

$\;\;\;=0.7885305659...(OEISA085361)$

같이 보기

• 골롬-딕맨 상수
• 피보나치 수렴 그래프
• 수학 상수