아폴로니오스 정리

아폴로니오스 정리(Apollonius' theorem) 또는 중선정리(中線定理)는 중 기하학에서 삼각형의 각 변들간의 관계를 설명한 정리이다. '아폴로니오스'라는 이름은 고대 그리스의 수학자인 페르게의 아폴로니오스의 이름을 딴 것이다. 대한민국과 일본에서는 흔히 파푸스의 정리(Pappus's theorem)라는 이름으로도 알려져 있으나, 이외의 국가에서는 이러한 이름으로 불리지 않는다.

내용

그림에서 $BI=IC$일 때, 선분 $AI$는 중선(Median)이 되고, 다음의 관계가 성립한다.

$AB^{2}+AC^{2}=2(BI^{2}+AI^{2}){=2(CI^{2}+AI^{2})}\,$

특히, $AB=AC$가 성립할 경우, 피타고라스의 정리가 된다. 즉,

$AI^{2}+BI^{2}=AB^{2}(=AC^{2})\,$

이 정리는 스튜어트 정리에서 $BI=IC$를 가정할 때와 동일하므로 스튜어트 정리의 특수한 형태가 된다.

증명

코사인 법칙을 이용한 증명

아폴로니오스 정리의 증명

세 변이 각각 $a,b,c$인 삼각형에서 변 $a$를 지나도록 중선 $d$를 긋는다. 또한, 변 $a$를 이등분한 후, $a$의 절반을 $m$이라 한다. 또 변 $a$와 중선 $d$가 이루는 두 각을 각각 $\theta$와 $\theta ^{\prime }$이라고 한다. 이때, $\theta$는 변 $b$와 마주보고 $\theta ^{\prime }$은 변 $c$와 마주본다. 그러면 $\theta$와 $\theta ^{\prime }$은 서로 보각이 되므로 $\cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta$가 된다. 이때 코사인 법칙에 의해 아래 식이 성립한다.

$${\begin{aligned}b^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '\\&=m^{2}+d^{2}+2dm\cos \theta \,\end{aligned}}$$

첫째 줄의 식과 셋째 줄의 식을 더하면, 아래와 같은 결론을 얻을 수 있다.

$$b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})$$

피타고라스 정리를 이용한 증명

아폴로니오스 정리의 증명

$\triangle \mathrm {ABC}$에서 ${\overline {\mathrm {BC} }}$의 중점을 $\mathrm {M}$이라 하고, 점 $\mathrm {A}$에서 ${\overline {\mathrm {BC} }}$에 내린 수선의 발을 점 $\mathrm {H}$라 한다. 이때, ${\overline {\mathrm {BM} }}={\overline {\mathrm {CM} }}$이다. 피타고라스 정리를 활용하면 아래와 같이 증명할 수 있다.

${\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AB} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&\left({\overline {\mathrm {CM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&\left({\overline {\mathrm {BM} }}-{\overline {\mathrm {MH} }}\right)^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\\&=&{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}-2{\overline {\mathrm {BM} }}\times {\overline {\mathrm {MH} }}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}&=&2\left({\overline {\mathrm {BM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {MH} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AH} }}^{2}\right)\\&=&2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)\end{matrix}}$

좌표를 이용한 증명

좌표를 활용한 아폴로니오스 정리의 증명

좌표를 사용하여 증명할 수도 있다.

그림과 같이 ${\overline {\mathrm {BC} }}$가 $x$축과 겹쳐지도록 한다. $\triangle \mathrm {ABC}$에서 ${\overline {\mathrm {BC} }}$의 중점을 $\mathrm {M}$이라 하고, 점 $\mathrm {M}$이 원점에 오도록 한다. 각 점의 좌표는 각각 $\mathrm {A} (a,b)$, $\mathrm {B} (-c,0)$, $\mathrm {C} (c,0)$, $\mathrm {M} (0,0)$이 된다.

${\overline {\mathrm {AB} }}^{2}=(a+c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ac$

${\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=(a-c)^{2}+b^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ac$

${\overline {\mathrm {AM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}$

${\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=c^{2}$

${\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$, ${\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}$

$\therefore {\overline {\mathrm {AB} }}^{2}+{\overline {\mathrm {AC} }}^{2}=2\left({\overline {\mathrm {AM} }}^{2}+{\overline {\mathrm {BM} }}^{2}\right)$

같이 보기

• 스튜어트 정리

외부 링크

• planetmath.org의 Apollonius theorem항목