브라베 격자

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기하학결정학에서, 브라베 격자(Bravais lattice)란 주기성과 규칙성과 반복성을 가진 격자다. 각 격자점은 모두 같은 주위환경을 갖고 있어 어느 격자점을 중심으로 보든 똑같은 모양이 나타난다. 각 격자점에 하나 이상의 원자가 대응되어 주기성과 규칙성과 반복성을 가질 때 그것을 결정이라고 한다.

2차원 브라베 격자는 모두 5가지가 있다. 3차원 브라베 격자는 모두 14가지가 있다.

역사[편집]

프랑스의 오귀스트 브라베(Auguste Bravais)가 1850년에 연구하였다.[1]

낮은 차원에서의 브라베 격자[편집]

0차원과 1차원에서는 각각 하나의 브라베 격자가 존재한다. 2차원에는 모두 5개의 브라베 격자가 있다. 다음과 같다.

2d-bravais.svg
  1. 이사정계(oblique)
  2. 직방정계(rectangular)
  3. 사방정계(rhombic)
  4. 육방정계(hexagonal)
  5. 정사각정계(square)

3차원 브라베 격자[편집]

3차원에는 모두 14개의 브라베 격자가 있다. 이들은 7가지의 결정계에 격자점을 추가하여 분류할 수 있다.

lattice centering에는 다음과 같은 종류가 있다.

  • 단순(또는 원시) 격자 (Primitive centering, P): 격자점은 각 단위 격자의 꼭짓점에만 위치한다.
  • 체심 (Body centered, I): 단위 격자의 중심에 하나의 격자점이 더 있다.
  • 면심 (Face centered, F): 단위 격자를 이루는 각 면의 중심에 격자점이 하나씩 더 있다.
  • 저심 (A, B or C centering): 마주보는 2개의 면의 중심에만 격자점이 하나씩 더 있다. A축에 수직한 면의 중심에 격자점이 있는경우 A centering이라 하고, B축에 수직한 면에 있는 경우 B centering이라고 한다.

lattice centering에는 위와같이 모두 6개의 종류가 있으므로 7 결정계와 조합하면 모두 42개의 브라베 격자가 된다. 그러나 어떤 격자들은 서로 똑같은 모양을 나타내므로 42개보다 적은 수의 브라베 격자로 가능한 모든 격자를 표현할 수 있다. 예를 들어 단사정계의 체심 격자는 역시 단사정계의 저심 격자로 나타낼 수 있다. 비슷하게 A, B centering은 모두 C centering이나 체심(Body centered)으로 나타낼 수 있으므로 브라베 격자에 A, B centered 격자는 존재하지 않는다. 같은 모양을 갖는 격자를 제외한 브라베 격자는 모두 14가지이다.

Crystal system 브라베 격자
삼사정계 P
단순 삼사정계
단사정계 P C
단순 단사정계 저심 단사정계
사방정계 P C I F
단순 사방정계 저심 사방정계 체심 사방정계 면심 사방정계
정방정계 P I
단순 정방정계 체심 정방정계
삼방정계 P
삼방정계
육방정계 P
육방정계
입방정계
P I F
단순 입방정계 체심 입방정계 면심 입방정계

단위 격자의 부피는 격자벡터 \underline a,  \underline b, and \underline c 로 표현이 가능하다. 각 브라베 격자의 단위 격자 부피는 다음과 같다.

결정계 부피
삼사정계 abc \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}
단사정계 abc \sin\beta
사방정계  abc
정방정계  a^2c
삼방정계  a^3 \sqrt{1-\cos^2\alpha-\cos^2\beta-\cos^2\gamma+2\cos\alpha \cos\beta \cos\gamma}
육방정계 \frac{\sqrt{3\,}\, a^2c}{2}
입방정계  a^3

면간 거리[편집]

(hkl)군의 인접한 면 사이의 거리인 d의 값은 다음 식을 통해 알 수 있다.

결정계 부피
삼사정계 \frac{1}{d^2}=\frac{1}{V}(S_{11}h^2+S_{22}k^2+S_{33}l^2+2S_{12}hk+2S_{23}kl+2S_{13}hl)
단사정계 \frac{1}{d^2}=\frac{1}{\sin^2\beta}(\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2\sin^2\beta}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}-\frac{2hl\cos\beta}{ac})
사방정계 \frac{1}{d^2}=\frac{h^2}{a^2}+\frac{k^2}{b^2}+\frac{l^2}{c^2}
정방정계 \frac{1}{d^2}=\frac{h^2+k^2}{a^2}+\frac{l^2}{c^2}
삼방정계 \frac{1}{d^2}=\frac{(h^2+k^2+l^)\sin^2\alpha+2(hk+kl+hl)(\cos^2\alpha-\cos\alpha)}{a^2(1-3\cos^2\alpha+2\cos^3\alpha)}
육방정계 \frac{1}{d^2}=\frac{4}{3}(\frac{h^2+hk+k^2}{a^2})+\frac{l^2}{c^2}
입방정계 \frac{1}{d^2}=\frac{h^2+k^2+l^2}{a^2}

참고 문헌[편집]

  1. Bravais, Auguste (1850년). Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. 《Journal de l'École polytechnique》 19: 1–128.

같이 보기[편집]