반대칭관계

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정의[편집]

수학에서 집합 X 상의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 정의된 이항관계 R반대칭관계(反對稱關係, antisymmetric relation)라 함은 a R b이고 b R a이면 a=b를 만족한다는 뜻이다. 수학적으로 다시 쓰면 다음과 같다.


\forall a,b \in X, aRb \and bRa \Rightarrow a=b

예제[편집]

예를 들어 aRb가 'ab 와 친척이다'라는 이항관계이면 R대칭관계이지만. 반대칭관계는 아니다. 그러나 R 을 '작거나 같다'로 정의하면 이것은 반대칭관계이다.

반대칭관계와 대칭관계[편집]

반대칭관계를 '대칭관계의 반대'로 혼동하기 쉬운데, 이것은 사실이 아니다. 어떤 이항연산 R은 다음과 같은 네 가지 모든 경우에 해당할 수 있다.

  • 반대칭관계이며 대칭관계인 경우: R같다를 나타내는 경우.
  • 반대칭관계이지만 대칭관계는 아닌 경우: R작거나 같다라고 하자.
    • \scriptstyle a\leq b이고 \scriptstyle b\leq a이면 a=b 이므로 R은 반대칭관계이다.
    • 그러나 \scriptstyle a\leq b라고 \scriptstyle b\leq a인 것은 아니므로 대칭관계는 아니다.
  • 반대칭관계는 아니지만 대칭관계인 경우: R"n"을 법(法, modulus)으로 하는 합동(合同, congruent)이라고 하자.
    • \scriptstyle a\equiv b \!\!\!\! \pmod{n}이면 \scriptstyle b\equiv a \!\!\!\! \pmod{n}\ 이므로 이것은 대칭관계이다.
    • 그러나 반대칭관계는 아니라는 것은 다음 반례에서 확인할 수 있다. (반례: \scriptstyle 3 \equiv 7 \!\!\!\! \pmod{4}이고 \scriptstyle 7 \equiv 3 \!\!\!\! \pmod{4}이지만, 3=7은 아니다.)
  • 반대칭관계도 아니고 대칭관계도 아닌 경우: aRb정수 a,b에 대하여 ab나눈다라고 하자.
    • a|b이고 b|a라고 a=b인 것은 아니다. (반례: 1|-1이고 -1|1이지만 1=-1이 아니다.)
    • 마찬가지로, a|b라고 b|a인 것도 아니다. (반례: 3|6이지만 6|3은 아니다.)

비대칭관계[편집]

반대칭관계는 비대칭관계(非對稱關係, asymmetric relation)와 혼동하기 쉬운데, 이 두 개념은 엄밀히 다른 개념이다. 비대칭관계는 집합 X와 여기에 속하는 임의의 두 원소 a, b에 대하여 정의된 이항관계 R이 있을 때 a R b이면 b R a가 아닌 것이다. 수학적으로 다시 쓰면 다음과 같다.


\forall a,b \in X, aRb \Rightarrow \lnot (bRa)

이항관계 R 이 비대칭관계라는 것은 R이 반대칭관계이고 비반사관계라는 것과 동치이다.