르베그 지배수렴정리

르베그 지배수렴정리(Lebesgue's dominated convergence theorem, LDCT, -支配收斂定理)는 실해석학 및 복소해석학의 정리로, 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장해 주는 정리이다. 단순히 지배수렴정리(프랑스어: Théorème de convergence dominée 테오렘 드 콩베르장스 도미네^[*], TCD, 支配收斂定理)라고만 쓰기도 한다.

공식화

지배수렴정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다. {f_n}을 어떤 측도공간 X 상에서 정의된 복소 가측함수열, f를 X 상에서 정의된 복소함수이고, 모든 $x \in X$ 에 대하여 다음이 성립한다고 하자.

$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$

만약 함수 $g \in L^1(\mu)$ 가 존재하여 모든 자연수 n과 $x \in X$ 에 대하여 다음을 만족한다면,

$|f_n(x)| \le g(x)$

$f \in L^1(\mu)$ 이고, 다음이 성립한다.

$\lim_{n \to \infty} \int_{X} f_n d\mu = \int_{X} f d\mu.$

증명

|f| ≤ g이고 f가 가측이므로, $f \in L^1(\mu)$ 를 얻는다. 삼각부등식에 의하여 |f_n - f| ≤ 2g이고 파투의 보조정리를 2g - |f_n - f|에 적용하면 다음을 얻는다.

$\int_{X} 2g d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_{X} (2g - |f_n - f|) d\mu = \int_{X} 2g d\mu + \liminf_{n \to \infty} \int_{X} (-|f_n - f|) d\mu = \int_{X} 2g d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int_{X} |f_n - f| d\mu,$

양 변에서 2g의 적분을 소거하면 다음을 얻고,

$\limsup_{n \to \infty} \int_{X} |f_n - f| d\mu \le 0.$

여기서 곧바로 구하고자 하는 결론을 얻는다.

미적분학의 기본정리와의 관계

이 지배수렴정리는 수학사적으로도 가치가 높은 정리이다. 역사적으로 앙리 르베그는 르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 이상의 지배수렴정리를 끌어냈는데, 이 지배수렴정리를 이용하면 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 내놓을 수 있기 때문이다.

구체적으로 말해, 지배수렴정리를 이용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.

• 어떤 함수 f가 실수 상의 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 그 도함수가 유계라면, $\int_a^b f'(x)dx = f(b) - f(a).$

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속이라거나 리만 적분가능하다는 조건이 추가로 필요하다.

참고 문헌

• Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987.