지배 수렴 정리

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해석학에서, 지배 수렴 정리(支配收斂定理, 영어: dominated convergence theorem)는 르베그 적분과 함수열의 극한 연산을 서로 교환할 수 있다는 것을 보장하는 정리다.

정의[편집]

측도 공간 (X,\mu) 위의 가측 함수의 열 f_n\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)) (n\in\mathbb N)함수 f\colon X\to\mathbb R가측 함수 g\colon X\to(\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R)가 다음 조건들을 모두 만족시킨다고 하자.

  • (점별 수렴) 모든 x\in X에 대하여, \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)
  • (르베그 적분 가능성) \int_X|g|\,d\mu<\infty
  • (적분 가능 함수에 대한 지배) 모든 n\in\mathbb Nx\in X에 대하여, |f_n(x)|\le g(x)

그렇다면, 지배 수렴 정리에 따르면 다음 조건들이 성립한다.[1]:26

  • (르베그 적분 가능성) \int_X|f|\,d\mu<\infty
  • \lim_{n\to\infty}\int_X|f_n-f|\,d\mu=0
  • \lim_{n\to\infty}\int_Xf\,d\mu=\int_Xf\,d\mu

증명[편집]

|f| ≤ g이고 f가 가측 함수이므로, f \in L^1(\mu)이다. 삼각 부등식에 의하여 |fn - f| ≤ 2g이고 파투의 보조정리를 2g - |fn - f|에 적용하면 다음을 얻는다.

\int_X 2g d\mu \le \liminf_{n \to \infty} \int_{X} (2g - |f_n - f|) d\mu = \int_X 2g d\mu + \liminf_{n \to \infty} \int_{X} (-|f_n - f|) d\mu = \int_{X} 2g d\mu - \limsup_{n \to \infty} \int_{X} |f_n - f| d\mu

양 변에서 2g의 적분을 소거하면 다음을 얻는다.

\limsup_{n \to \infty} \int_{X} |f_n - f| d\mu \le 0.

역사[편집]

역사적으로, 앙리 르베그르베그 적분을 공식화하고 이를 통해 지배 수렴 정리를 증명하였다. 르베그는 지배 수렴 정리를 사용하여, 해석학의 고전적인 문제였던 미적분학의 기본정리의 조건을 일반화하는 문제에 결정적인 해답을 제시하였다.[2]:313

구체적으로 말해, 지배 수렴 정리의 따름정리인 유계 수렴 정리를 사용하여, 르베그는 르베그 적분을 이용할 경우 다음과 같은 꼴의 미적분학의 기본정리가 성립한다는 것을 증명하였다.[2]:313

이는 f의 도함수가 유계라는 것 이외에 이 도함수에 아무런 조건도 걸지 않고 있다. 그러나 리만 적분을 이용한다면 f의 도함수가 연속 함수이라거나 리만 적분 가능 함수라는 조건 따위가 추가로 필요하다.

참고 문헌[편집]

  1. Rudin, Walter. Real and Complex Analysis. Singapore: McGraw-Hill, 1987
  2. (한국어) 던햄, 윌리엄 (2011년). 《미적분학 갤러리》. 한승

바깥 고리[편집]