로렌즈 방정식

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로렌즈 끌개

로렌즈 방정식(영어: Lorenz equation)은 3차원 공간상에서 대기의 대류를 나타내는 간단한 비선형 동역학계이다. 야릇한 끌개의 대표적인 예인 로렌즈 끌개를 보인다.

정의[편집]

로렌즈 방정식x(t),y(t),z(t) 세 변수에 대한 1차 비선형 상미분 방정식이며, 세 개의 매개변수 \sigma,\rho,\beta에 의존한다. 다음과 같다.

dx/dt=\sigma(y-x)
dy/dt=x(\rho-z)-y
dz/dt=xy-\beta x

로렌즈의 원래 논문에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다.

\sigma=10
\beta=8/3
\rho=28

이 값에서 로렌즈 방정식은 혼돈적인 성질을 보이며, 로렌즈 끌개라는 야릇한 끌개를 가진다.

역사[편집]

1963년 미국의 기상학자에드워드 노턴 로렌즈가 〈결정론적 비주기 흐름〉(영어: Deterministic nonperiodic flow)이는 논문에서 이 방정식을 발표하였다.[1] 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 앙리 베르나르(Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리(1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 혼돈 이론의 시초로 여겨진다.

로렌즈 끌개[편집]

다양한 매개변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 \beta=8/3, \sigma=10으로 고정시키고, \rho 값을 바꾼다. 대략

\rho\ge24.74

이면 이 끌개는 야릇한 끌개가 된다.

Lorenz Ro14 20 41 20-200px.png Lorenz Ro13-200px.png Lorenz Ro15-200px.png Lorenz Ro28-200px.png
ρ=14 ρ=13 ρ=15 ρ=28

\beta=8/3, \sigma=10, \rho=28인 로렌즈 끌개는 프랙탈이며, 그 하우스도르프 차원은 약 2.06 ± 0.01이다.

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Lorenz, E. N. (1963년 3월). Deterministic nonperiodic flow. 《Journal of the Atmospheric Sciences》 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.

함께 보기[편집]