균등연속

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균등연속(均等連續, 영어: uniform continuity)은 함수의 연속보다 더 강한 조건으로, 연속이 국소적인 한 점에 대한 조건인 것에 비해 균등연속은 함수 전체에 대한 조건이다.

정의[편집]

거리공간 (X, d_1), (Y, d_2)이 있고 함수 f: X \to Y가 있을 때, 임의의 양의 실수 \epsilon에 대해서 X의 원소 x, yd_1(x , y)<\delta이면 항상 d_2(f(x) , f(y))<\epsilon 이 성립하는 양의 실수 \delta가 존재한다면, 함수 f는 균등연속이라고 정의한다.

성질[편집]

  • 콤팩트 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수는 균등 연속하다.(하이네-칸토어 정리)
    이에 대한 증명은 다음과 같은 과정을 거친다. 연속이므로, 정의역의 어떤 점  x 을 생각해 볼 때, 임의의 양의 실수 \epsilon에 대해 정의역의 점  x 에 대해 d_1(x , y)<\delta_x이면 항상 d_2(f(x) , f(y))<\epsilon 이 성립하는  \delta_x 가 존재한다. 따라서, 이러한 근방 들의 집합,  F = \{N(x;\delta_x) : x \in X\}, 은 정의역의 열린 덮개 가 되고, 따라서 이의 유한한 부분덮개 가 존재한다. 정의에 필요한  \delta 는 부분덮개들의  \delta_x 들의 최소값을 잡으면 된다.

같이 보기[편집]