균등 연속 함수

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실해석학에서, 균등 연속 함수(均等連續, 영어: uniformly continuous function)는 임의의 반지름의 열린 공의 원상이 균등한 (위치에 의존하지 않는) 크기를 갖는 열린 공을 포함하는 함수이다. 연속 함수의 조건은 국소적인데, 이를 대역적으로 강화시킨 조건이다.

정의[편집]

거리 공간 (X, d_X), (Y, d_Y) 사이의 함수 f\colon X \to Y가 주어졌을 때, 만약 임의의 양의 실수 \epsilon>0에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수 \delta_\epsilon>0이 존재한다면 f균등 연속 함수라고 한다.

  • X의 임의의 점 x, x'\in X에 대하여, 만약 d_X(x,x')<\delta_\epsilon이라면 항상 d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon이다.

이는 연속 함수의 정의와 유사하나, 연속 함수의 정의에서 \delta\epsilonx에 의존할 수 있는 반면 균등 연속 함수의 정의에서는 \delta\epsilon에만 의존하고, x에 의존할 수 없다.

성질[편집]

거리 공간 사이의 모든 균등 연속 함수는 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 정의역이 콤팩트 거리 공간이라면 모든 연속 함수는 균등 연속 함수이다 (하이네-칸토어 정리).

거리 공간 사이의 모든 립시츠 연속 함수횔더 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의역이 구간인 경우, 모든 절대 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

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탄젠트 함수 \tan\colon(-\pi/2,\pi/2)\to\mathbb R연속 함수이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

지수 함수 \exp\colon\mathbb R\to\mathbb R연속 함수이지만, 균등 연속 함수가 아니다.

같이 보기[편집]