균등연속

균등연속, 고른 연속은 함수의 연속보다 더 강한 조건으로, 연속이 국소적인 한 점에 대한 조건인 것에 비해 균등연속은 함수 전체에 대한 조건이다.

정의

두 거리공간 $(X, d_1), (Y, d_2)$이 있고 함수 $f: X \to Y$가 있을 때, 임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대해서 $X$의 원소 $x, y$가 $d_1(x , y)<\delta$이면 항상 $d_2(f(x) , f(y))<\epsilon$ 이 성립하는 양의 실수 $\delta$가 존재한다면, 함수 $f$는 균등연속이라고 정의한다.

성질

• 컴팩트 거리공간에서 다른 거리공간으로 가는 연속함수는 균등 연속하다.(하이네-칸토어 정리)
  이에 대한 증명은 다음과 같은 과정을 거친다. 연속이므로, 정의역의 어떤 점 $x$을 생각해 볼 때, 임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대해 정의역의 점 $x$ 에 대해 $d_1(x , y)<\delta_x$이면 항상 $d_2(f(x) , f(y))<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta_x$ 가 존재한다. 따라서, 이러한 근방 들의 집합, $F = \{N(x;\delta_x) : x \in X\}$, 은 정의역의 열린 덮개 가 되고, 따라서 이의 유한한 부분덮개 가 존재한다. 정의에 필요한 $\delta$ 는 부분덮개들의 $\delta_x$ 들의 최소값을 잡으면 된다.

같이 보기

• 하이네-칸토어 정리