수학, 특히 리 대수론에서 리의 정리는[1] 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대해
가 가해 리 대수의 유한차원 표현이면,
인
의 불변 부분공간의 기
가 존재, 즉
과
각각에 대해
라는 정리이다.
달리 말하면, 이 정리는
안의 모든 선형 변환들이 상 삼각행렬로 표현되는
의 기저가 있다는 정리이다.[2] 이는 가환 행렬쌍이 동시에 상 삼각화 가능하다는 프로베니우스의 결과를 일반화한 것이다. 이는 가환 행렬쌍이 fortiori solvable인 아벨 리 대수를 생성하기 때문이다.
리의 정리의 결과는 표수 0의 체에 대한 모든 유한 차원 가해 리 대수는 멱영 유도 대수를 갖는다는 것이다. 또한 유한차원 벡터 공간 V 의 각 기에는 보렐 부분대수 (기를 안정화하는 선형 변환으로 구성됨)가 대응된다. 따라서 정리는
가
의 어떤 보렐 부분대수에 포함되어 있다고 한다.[1]
반례
대수적으로 닫힌 표수
인 체의 경우 표현의 차원이 p 보다 작은 경우 리의 정리가 유지되지만(아래 증명 참조) 차원이 p인 표현에서는 거짓일 수 있다. 예를 들어, 고유 벡터가 없는 p 차원 벡터 공간
에 작용하는
로 생성된 3차원 멱영 리 대수에서는 리의 정리가 성립하지 않는다. 이 3차원 리 대수의 반직접 곱을 p 차원 표현(아벨 리 대수로 여김)으로 취하면 유도 대수가 멱영이 아닌 가해 리 대수를 얻을 수 있다.
증명
증명은
의 차원에 대한 귀납법으로 한다. 그리고 여러 단계로 구성된다. (참고: 증명의 구조는 엥겔의 정리와 아주 비슷하다.) 기본 예시는 자명하며,
차원을 양수라고 가정한다. 또한 V는 0이 아니라고 가정한다. 단순화를 위해
로 쓴다.
1단계 : 정리가 다음 진술과 동일한지 확인한다. [3]
- V에는
안의 각 선형 변환에 대한 고유 벡터가 되는 벡터가 있다.
실제로, 정리는 특히
를 생성하는 0이 아닌 벡터는
안의 모든 선형 변환들에 대한 공통된 고유 벡터이다. 반대로, v가 공통된 고유벡터라면 그 생성공간을
잡으면
는 몫공간
에서 공통 고유벡터 가진다; 이 주장을 반복한다.
2단계 : 여차원 1인
안의 이데알
를 찾는다.
를 그 유도 대수라 하자.
가 가해이고 양의 차원을 가지며,
이라서 몫
은 0이 아닌 아벨 리 대수인데, 이는 확실히 여차원 1인 이데알을 포함하고, 이데알 대응성에 의해
안에 있는 여차원 1인 이데알에 대응한다.
3단계 :
안에
![{\displaystyle V_{\lambda }=\{v\in V|X\cdot v=\lambda (X)v,X\in {\mathfrak {h}}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab30e7ce4d9876ab9fa124af4f06ae51c25dd65f)
0이 아닌 어떤 선형 범함수
가 존재한다. 이는 귀납적 가설(고유값이 선형 범함수를 결정하는지 확인하는 것은 쉽다)에서 따른다.
4단계 :
는
-불변 부분공간이다. (이 단계는 일반적인 사실을 증명하며 가해성을 포함하지 않는다.)
,
라 하자. 그러면
를 증명해야 한다.
인 경우는 자명하므로,
를 가정한다. 그리고 재귀적으로
로 놓는다.
와
가
가 선형독립인 조건 하에 최대집합이라 하자. 그러면 이 원소들이 U를 생성하고
가 U의 기저라는 것을 증명할 것이다. 실제로, 귀류법으로 증명하기 위해, 그것이 사실이 아니라고 가정하고
가
인 최소값이라 하자. 그러면 분명히
이다.
들은 선형 종속이며,
는
의 선형 결합이다. 사상
를 적용하면
가
의 선형 결합임을 알 수 있다. m의 최소성으로 인해 이들 벡터 각각은
의 선형 결합이다. 따라서
도 그렇다. 이는 모순이다. 이제, 귀납법을 통해 모든
,
에 대해
이고
![{\displaystyle X\cdot v_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30d97858126dbe2bf211b930495bc0661b7e5ce6)
인 기본 체의 원소들
이 존재한다는 것을 증명한다.
인 경우는
이므로 간단하다. 이제 어떤
과
의 모든 원소에 대해 명제를 증명했다고 가정하자. 그리고
라 하자.
가 이데알이므로,
이다. 따라서
![{\displaystyle X\cdot v_{n+1}=Y\cdot (X\cdot v_{n})+[X,Y]\cdot v_{n}=Y\cdot \sum _{i=0}^{n}a_{i,n,X}v_{i}+\sum _{i=0}^{n}a_{i,n,[X,Y]}v_{i}=a_{0,n,[X,Y]}v_{0}+\sum _{i=1}^{n}(a_{i-1,n,X}+a_{i,n,[X,Y]})v_{i}+\lambda (X)v_{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f7fbc3f3b7328a2da42d8151b2ebfe6ba70221e)
이며, 귀납 단계가 이어진다. 이는 모든
애 대해 부분공간 U는 X의 불변 부분공간이고 제한 사상
의 행렬은 기저
에 대해 대각선 성분이
과 같은 상 삼각형 행렬이다. 따라서
. 이것을 X 대신에
와 적용하면
이다. 반면에 U는 분명히 Y의 불변 부분공간이기도 한다.
![{\displaystyle \operatorname {tr} (\pi ([X,Y])|_{U})=\operatorname {tr} ([\pi (X),\pi (Y)]|_{U}])=\operatorname {tr} ([\pi (X)|_{U},\pi (Y)|_{U}])=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c65630b2177b0cdb1708c854da95742ae8b0a89)
교환자에는 대각합이 0이므로
이다.
눈 (베이스 체의 표수에 대한 가정으로 인해) 가역적이므로,
이고
![{\displaystyle X\cdot (Y\cdot v)=Y\cdot (X\cdot v)+[X,Y]\cdot v=Y\cdot (\lambda (X)v)+\lambda ([X,Y])v=\lambda (X)(Y\cdot v),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3d24787ea2d96cc14502e5a564b591b27c2553)
이며, 따라서
.
5단계 : 공통된 고유벡터를 찾아 증명을 마무리한다.
라 하자. 여기서 L은 1차원 부분 벡터공간이다. 기본 체가 대수적으로 닫혀 있으므로
안에서 L 의 0이 아닌 어떤(따라서 모든) 원소에 대해 고유 벡터가 존재한다. 그 벡터는 또한
의 각 원소에 대한 고유 벡터이기 때문에, 증명이 완료되었다.
결과
정리는 특히 표수 0의 대수적으로 닫힌 체에 대한 (유한차원) 가해 리 대수
의 딸림 표현
에 적용된다. 따라서
이 상 삼각 행렬로 구성되도록
의 기저를 선택할 수 있다. 각각의
에 대해,
는 0으로 구성된 대각선이 있다. 즉,
은 순상삼각 행렬이다. 이는
가 멱영 리 대수임을 의미한다. 더욱이, 기본 체가 대수적으로 닫혀 있지 않으면 리 대수의 가해성과 멱영성은 기본 체를 대수적 폐포로 확장해도 영향을 받지 않는다. 따라서 다음 진술을 결론짓는다: [4]
- 표수 0의 체에 대한 유한차원 리 대수
가 가해임과 유도 대수
가 다음과 멱영임은 동치이다.
리의 정리는 또한 카르탕의 가해성 판별법에서 한 가지 방향을 설정한다.
- V가 표수 0인 체에 대한 유한 차원 벡터 공간이고
는 리 부분 대수이면
가 가해임과 모든
,
에 대해
임이 동치이다.[5]
실제로 위와 같이 기본 체를 확대한 후에는
는 쉽게 보일 수 있다. (역은 증명하기가 더 어렵다.)
리의 정리(다양한 V 에 대한)는 다음 진술과 동일하다: [6]
- 대수적으로 닫힌 표수 0 체 위에서 가해 리 대수
에 대해 각각의 유한차원 단순
-가군(즉, 표현으로서 기약)은 1차원이다.
실제로 리의 정리는 이 진술을 분명히 암시한다. 반대로, 그 진술이 사실이라고 가정하자. 주어진 유한차원
-가군 V에 대해,
가 극대
-부분 가군이라 하자(차원의 유한성에 의해 존재함). 그런 다음 극대성으로 인해,
는 단순하다; 따라서 1차원이다. 이제 귀납법으로 증명이 완료된다.
이 진술은 특히 아벨 리 대수에 대한 유한차원 단순 가군이 1차원이라고 말한다. 이 사실은 모든 기본 체에서 사실로 유지된다. 이 경우 모든 부분 벡터 공간은 리 부분대수이기 때문이다. [7]
여기 또 다른 유용한 적용이 있다: [8]
가 표수 0인 대수적으로 닫힌 체에 대한 유한차원 리 대수이고 그 근기를
라 하자. 그러면 각각의 유한차원 단순 표현
는
의 단순 표현과
의 1차원 표현의 텐서 곱이다.(즉, 리 괄호에서 선형 범함수는 사라지는 것이다).
리의 정리에 의해
의 가중치 공간
가 존재하도록
의 선형 범함수
를 찾을 수 있다. 리의 정리 증명의 4단계에 의해,
는 또한
-가군이다; 그래서
. 특히, 각
에 대해,
.
를
에서 영인
위의 선형 범함수로 확장하면,
는
의 1차원 표현이다. 이제,
.
는
위의
와 일치하므로,
는
위에서 자명하다. 따라서
의 (단순한) 표현의 제한이다.
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각주
- ↑ 가 나 Serre 2001, Theorem 3
- ↑ Humphreys 1972, Ch. II, § 4.1., Corollary A.
- ↑ Serre 2001, Theorem 3틀:''
- ↑ Humphreys 1972, Ch. II, § 4.1., Corollary C.
- ↑ Serre 2001, Theorem 4
- ↑ Serre 2001, Theorem 3'
- ↑ Jacobson 1979, Ch. II, § 6, Lemma 5.
- ↑ Fulton & Harris 1991, Proposition 9.17. 괄호 없는 하버드 인용 error: 대상 없음: CITEREFFultonHarris1991 (help)
참고 문헌
- Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. Vol. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103.
- Humphreys, James E. (1972), 《Introduction to Lie Algebras and Representation Theory》, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90053-7 .
- Jacobson, Nathan (1979), 《Lie algebras》 Republication ofe 1962 original판, New York: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927
- Serre, Jean-Pierre (2001), 《Complex Semisimple Lie Algebras》, Berlin: Springer, doi:10.1007/978-3-642-56884-8, ISBN 3-5406-7827-1, MR 1808366