삼각행렬

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삼각행렬(triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{L}하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다.

\mathbf{L}= \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & & \\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \\ l_{n,1} & l_{n,2} & \ldots & l_{n,n-1} & l_{n,n} \end{bmatrix}

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 \mathbf{U}상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다.

\mathbf{U} = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,3} & \ldots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} & u_{2,3} & \ldots & u_{2,n} \\ & & \ddots & \ddots & \vdots \\ & & & \ddots & u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \end{bmatrix}

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다.

성질[편집]

  • 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
  • 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
    • 삼각행렬 A에 대해서 xI-A도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 det(xI-A)은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 A고유값은 각 대각항이 된다.