절대 수렴

해석학에서, 절대 수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다. 만약 어떤 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수

$\mathbb {K}$ 항의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in \mathbb {K}$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|<\infty$

라면, 원래의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$가 절대 수렴한다고 한다.

바나흐 공간 위의 급수

$\mathbb {K}$-바나흐 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in X$)가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

$\sum _{n=0}^{\infty }\Vert x_{n}\Vert <\infty$

라면, 원래의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$가 절대 수렴한다고 한다.

성질

실수항 또는 복소수항 절대 수렴 급수는 항상 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 영어: absolute convergence test). 보다 일반적으로, 바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다.^{:8, §1.2, Theorem 1.2.2}

증명 (실수항 급수):

실수항 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in \mathbb {R}$)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여 $0\leq x_{n}+|x_{n}|\leq 2|x_{n}|$이므로, 임의의 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여

$\sum _{k=0}^{n}(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{n}|x_{k}|$

이다. 따라서

$\sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)\leq 2\sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|<\infty$

이다. 즉, $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(x_{k}+|x_{k}|)$는 수렴한다. $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }|x_{k}|$ 역시 수렴하므로, $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x_{k}$는 수렴한다.

증명 (바나흐 공간 위의 급수):

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 위의 급수 $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$ ($x_{n}\in X$)가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\Vert x_{n}\Vert$의 부분합 $\textstyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$은 코시 점렬이므로, 임의의 $\epsilon >0$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $N_{\epsilon }\in \mathbb {N}$가 존재한다.

임의의 $m,n>N_{\epsilon }$에 대하여, $\textstyle \sum _{k=m+1}^{n}\Vert x_{k}\Vert <\epsilon$

삼각 부등식에 따라, 임의의 $m,n>N_{\epsilon }$에 대하여,

$\left\Vert \sum _{k=m+1}^{n}x_{k}\right\Vert \leq \sum _{k=m+1}^{n}\Vert x_{k}\Vert <\epsilon$

이다. 따라서 원래 급수의 부분합 $\textstyle \left(\sum _{k=0}^{n}x_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ 역시 코시 점렬이며, $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{n}$는 수렴한다.

사실, 임의의 $\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:8, §1.2, Exercise 1.2.1}

• $X$ 위의 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다.
• $X$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다.

증명:

$X$ 위의 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다고 가정하자. $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subseteq X$가 임의의 코시 점렬이라고 하자. 그렇다면, 임의의 $k=1,2,\dots$에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 $n_{k}>n_{k-1}$가 존재한다.

임의의 $m,n\geq n_{k}$에 대하여, $\textstyle \Vert x_{m}-x_{n}\Vert \leq {\frac {1}{2^{k}}}$

따라서

$\sum _{k=1}^{\infty }\Vert x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}}\Vert \leq \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}=1<\infty$

이다. 즉, $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}})$는 절대 수렴한다. 가정에 따라 $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }(x_{n_{k+1}}-x_{n_{k}})$는 수렴하며, 따라서 $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {Z} ^{+}}$는 $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$의 수렴 부분 점렬이다. $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$은 코시 점렬이므로 $(x_{n_{k}})_{k\in \mathbb {Z} ^{+}}$와 같은 극한으로 수렴한다.

외부 링크

• “Absolutely convergent series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Absolutely convergent improper integral”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Absolute convergence”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.