부분 아핀 공간

아핀 기하학에서, 부분 아핀 공간(部分affine空間, 영어: affine subspace)은 새로운 아핀 공간을 이루는 주어진 아핀 공간의 부분 집합이다. 이는 평행 이동에 대한 부분 벡터 공간의 상과 동치이다.

정의

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $B\subseteq A$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $B$를 $A$의 부분 아핀 공간이라고 한다.

• $B-a$가 $V(A)$의 부분 벡터 공간이 되는 $a\in B$가 존재한다. (여기서 $B-a=\{b-a\colon b\in B\}$이며, $V(-)$는 평행 이동의 벡터 공간이다.)
• 임의의 $a\in B$에 대하여, $B-a$는 $V(A)$의 부분 벡터 공간이다.

부분 아핀 공간 $B\subseteq A$에 대하여, $V(B)=B-a$는 $a\in B$의 선택과 무관하며, 이는 $B$의 평행 이동들로 구성된다.

생성된 부분 아핀 공간

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $\varnothing \neq S\subseteq A$가 공집합이 아니라고 하자. $S$로 생성된 부분 아핀 공간(영어: affine subspace spanned by $S$) $\operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)$는 $S$를 포함하는 $A$의 가장 작은 부분 아핀 공간이다. 이는 $S$를 포함하는 $A$의 모든 부분 아핀 공간의 교집합과 같다. 또한, 임의의 $s\in S$에 대하여,

$\operatorname {Aff\,Span} _{K}(S)=s+\operatorname {Span} _{K}(S-s)$

이다. 여기서 $\operatorname {Span} _{K}(-)$는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.

성질

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 부분 집합 $B\subseteq A$가 주어졌고, 체 $K$의 표수가 2가 아니라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $B$는 $A$의 부분 아핀 공간이다.
• 임의의 $a,b\in B$에 대하여, $\operatorname {Aff\,Span} _{K}(\{a,b\})\subseteq B$이다.

예

체 $K$ 위의 아핀 공간 $A$의 두 점 $a,b\in A$로 생성된 부분 아핀 공간은 $a\neq b$일 경우 $a$, $b$를 지나는 아핀 직선이다.

참고 문헌

• Audin, Michèle (2003). 《Geometry》. Universitext (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-642-56127-6. ISBN 978-3-540-43498-6. ISSN 0172-5939. 
• Berger, Marcel (1987). 《Geometry》. Universitext (영어) 1. 번역 Cole, Michael; Levy, Silvio. Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-93815-6. ISBN 978-3-540-11658-5. 
• Gallier, Jean (2011). 《Geometric Methods and Applications》. Texts in Applied Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4419-9961-0. ISBN 978-1-4419-9960-3. ISSN 0939-2475. LCCN 2011929342.