단순 리 초대수

리 대수 이론에서, 단순 리 초대수(單純Lie超代數, 영어: simple Lie superalgebra)는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 리 초대수이다.

정의

표수 0의 체 $K$ 위의 리 초대수 ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}$가 주어졌다고 하자. 그 아이디얼은 ${\mathfrak {g}}$의 부분 리 초대수 ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 가운데

$[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}\}\subseteq {\mathfrak {i}}$

인 것이다.

리 초대수 ${\mathfrak {g}}$가 정확히 두 개의 아이디얼을 가질 경우, 이를 단순 리 초대수라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 $\{0\}$과 ${\mathfrak {g}}$ 전체이다.)

단순 리 초대수 ${\mathfrak {g}}$가 다음 조건을 만족시킬 경우, 고전 리 초대수(영어: classical Lie superalgebra)라고 한다.

• ${\mathfrak {g}}_{0}$의, ${\mathfrak {g}}_{1}$ 위의 리 대수의 표현이 완전 분해 가능 표현이다.

분류

복소수체 위의 고전 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.

이름	기호	조건	보손 부분대수	보손 차원	페르미온 표현	페르미온 차원
특수 선형(special linear)	${\mathfrak {sl}}(m|n)$	$1\leq m<n$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$m^{2}+n^{2}-1$	$(\mathbf {n} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {n} }},\mathbf {m} )$	$2mn$
사영 특수 선형(projective special linear)	${\mathfrak {psl}}(m|m)$	$m\geq 2$	${\mathfrak {sl}}(m)\oplus {\mathfrak {sl}}(m)$	$2n^{2}-2$	$(\mathbf {m} ,{\bar {\mathbf {m} }})\oplus ({\bar {\mathbf {m} }},\mathbf {m} )$	$2m^{2}$
직교-심플렉틱(orthosymplectic)	${\mathfrak {osp}}(m|2n)$	$m\geq 1$, $n\geq 1$	${\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)$	$m(m-1)/2+n(2n+1)$	$(\mathbf {m} ,\mathbf {2n} )$	$2mn$
이상한(queer)	${\mathfrak {q}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {(n^{2}-1)}$	$n^{2}-1$
페리플렉틱(periplectic)	${\mathfrak {p}}(n)$	$n\geq 3$	${\mathfrak {sl}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$	$n^{2}$	$\mathbf {n} ^{{\text{sym}}\otimes 2}\oplus {\bar {\mathbf {n} }}^{\wedge 2}$	$n^{2}$
예외	${\mathfrak {d}}(2|1;\alpha )$	$\alpha \neq 0,-1,+1$	${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {sl}}(2)$	9	$(\mathbf {2} ,\mathbf {2} ,\mathbf {2} )$	8
예외	${\mathfrak {f}}(3|1)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)$	24	$(\mathbf {2} ,\mathbf {8} )$	16
예외	${\mathfrak {g}}(3)$		${\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {g}}_{2}$	17	$(\mathbf {2} ,\mathbf {7} )$	14

위 표에서 $\mathbf {r} ^{{\text{sym}}\otimes 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 대칭 성분이고, $\mathbf {r} ^{\wedge 2}$는 $\mathbf {r} \otimes \mathbf {r}$의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.

• ${\mathfrak {sl}}(2|1)={\mathfrak {osp}}(2|2)$
• ${\mathfrak {d}}(2|1;1)={\mathfrak {osp}}(4,2)$

또한 ${\mathfrak {d}}(2|1;\alpha )$의 경우 $\alpha$에 대하여 여러 동형이 존재한다. 이 밖에 고전 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

이 밖에도, 카르탕형 대수(Cartan型代數, 영어: Cartan-type algebra) 또는 초고전적 대수(超古典的代數, 영어: hyperclassical algebra)라고 불리는 단순 리 초대수 $W(n)$, $S(n)$, ${\tilde {S}}(n)$, $H(n)$이 존재한다. 이들은 고전 리 초대수가 아니다.

참고 문헌

• Musson, Ian M. (2012). 《Lie Superalgebras and Enveloping Algebras》 (영어). Graduate Studies in Mathematics 131. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-6867-6. MR 2906817. Zbl 1255.17001. 
• Cheng, Shun-Jen; Weiqiang Wang (2010년 1월). “Dualities for Lie superalgebras” (영어). arXiv:1001.0074. Bibcode:2010arXiv1001.0074C. 
• Leites, D. A. (1985년 9월). “Lie superalgebras”. 《Journal of Soviet Mathematics》 (영어) 30 (6): 2481–2512. doi:10.1007/BF02249121. ISSN 0090-4104. 
• Kac, Victor G. (1977년 10월). “Lie superalgebras”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 26 (1): 8–96. doi:10.1016/0001-8708(77)90017-2. ISSN 0001-8708. MR 0486011. 
• Kac, Victor G. (1977년 2월). “A sketch of Lie superalgebra theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 53 (1): 31–64. Bibcode:1977CMaPh..53...31K. doi:10.1007/BF01609166. ISSN 0010-3616. MR 0442049. Zbl 0359.17009. 
• Ramond, Pierre (2010년 5월). 《Group theory: a physicist’s survey》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 9780521896030. MR 2663568. Zbl 1205.20001. 
• Rittenberg, V. (1978). 〈A guide to Lie superalgebras〉. 《Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977》. Lecture Notes in Physics (영어) 79. Springer. 3–21쪽. doi:10.1007/3-540-08848-2_1. ISBN 978-3-540-08848-6. ISSN 0075-8450. 

외부 링크

• “General linear supergroup”. 《nLab》 (영어). 
• “Orthosymplectic super Lie algebra”. 《nLab》 (영어).