단사 대상

범주론에서, 단사 대상(單射對象, injective object)은 이 대상을 공역으로 삼는 사상의 정의역을 임의로 확장할 수 있는 대상이다. 단사 가군의 개념을 일반화한 개념이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$의 단사 대상(영어: injective object)은 다음 성질을 만족하는 대상 $Q\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$이다.

• 모든 사상 $f\colon A\to Q$와 단사 사상 $h\colon A\hookrightarrow B$에 대하여, $g\circ h=f$인 사상 $g\colon B\to Q$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}A&{\overset {\forall h}{\hookrightarrow }}&B\\{\scriptstyle \forall f}\downarrow &\swarrow \scriptstyle \exists g\\Q\end{matrix}}$

마찬가지로, 범주 ${\mathcal {C}}$의 사영 대상(영어: projective object)은 다음 성질을 만족하는 대상 $P\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$이다.

• 모든 사상 $f\colon P\to B$와 전사 사상 $h\colon A\twoheadrightarrow B$에 대하여, $h\circ g=f$인 사상 $g\colon P\to A$가 존재한다.

  ${\begin{matrix}P\\{\scriptstyle \exists g}\downarrow &\searrow \scriptstyle \forall f\\A&{\underset {\forall h}{\twoheadrightarrow }}&B\end{matrix}}$

만약 ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 대상 $X$에 대하여, $X$에서 어떤 단사 대상으로 가는 사상이 존재한다면, ${\mathcal {C}}$를 단사 대상을 충분히 가지는 범주(영어: category with enough injective objects)라고 한다. 마찬가지로, 만약 ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 대상 $X$에 대하여, 어떤 사영 대상에서 $X$로 가는 사상이 존재한다면, ${\mathcal {C}}$를 전사 대상을 충분히 가지는 범주(영어: category with enough projective objects)라고 한다.

보다 일반적으로, 단사 사상 또는 전사 대상 대신 다른 종류의 사상 $H$로 유사한 개념을 정의할 수 있다. 이 경우를 $H$-단사 대상(H-injective object) 및 $H$-사영 대상(영어: $H$-projective object)이라고 한다.

성질

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Q$는 단사 대상이다.
• 요네다 함자 $\hom _{\mathcal {C}}(-,Q)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$는 전사 사상을 보존한다. 즉, ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$의 [[전사 사상] (=${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }$의 단사 사상)은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다.

국소적으로 작은 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상 $P$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $P$는 사영 대상이다.
• 요네다 함자 $\hom _{\mathcal {C}}(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$는 전사 사상을 보존한다. 즉, ${\mathcal {C}}$의 전사 사상은 사상 집합의 전사 함수를 유도한다.

아벨 범주의 경우

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 대상 $Q$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Q$는 단사 대상이다.
• 함자 $\hom _{\mathcal {A}}(-,Q)\colon {\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Ab}$는 완전 함자이다.

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 대상 $P$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $P$는 사영 대상이다.
• 함자 $\hom _{\mathcal {A}}(P,-)\colon {\mathcal {A}}\to \operatorname {Ab}$는 완전 함자이다.

아벨 범주 ${\mathcal {A}}$ 속의 짧은 완전열

$0\to A\to B\to C\to 0$

이 주어졌다고 하자.

• 만약 $A$가 단사 대상이라면,
  • 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
  • $B$와 $C$ 둘 다 단사 대상이거나 둘 다 단사 대상이 아니다. (이는 $B\cong A\oplus C$이기 때문이다.)
• 만약 $C$가 사영 대상이라면, 이는 분할 완전열이다.
  • 이 짧은 완전열은 분할 완전열이다.
  • $A$와 $B$ 둘 다 사영 대상이거나 둘 다 사영 대상이 아니다. (이는 $B\cong A\oplus C$이기 때문이다.)

예

범주	단사 대상을 충분히 가짐	단사 대상	사영 대상을 충분히 가짐	사영 대상
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	예	분해가능군	예	자유 아벨 군
환 $R$에 대한 왼쪽 가군들의 범주 $R-\operatorname {Mod}$	예	단사 가군	예	사영 가군
체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $\operatorname {Vect} _{K}$	예	임의의 벡터 공간	예	임의의 벡터 공간
아벨 군 값을 갖는 층의 범주 $\operatorname {Sh} (X,\operatorname {Ab} )$	예	단사층	아닐 수 있음	(이름이 없음)

국소 연결 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\operatorname {Sh} (X,\operatorname {Ab} )$는 사영 대상을 충분히 가진다.
• $X$는 알렉산드로프 공간이다. 즉, (무한 개일 수 있는) 임의의 수의 열린집합들의 교집합은 열린집합이다.

고립점이 없는 위상 공간 위의, 아벨 군 값의 층 가운데 사영 대상인 것은 자명군 상수층 ${\underline {0}}$ 밖에 없다.^{:30–31, Exercise I.4}

참고 문헌

• J. Rosicky. Injectivity and accessible categories.
• F. Cagliari, S. Montovani. T₀-reflection and injective hulls of fibre spaces.

바깥 고리

• “Injective object”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective object of a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Injective object”. 《nLab》 (영어). 
• “Projective object”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2010년 8월 22일). “A lot of abelian categories have enough injectives”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2015년 3월 28일). “Projective objects”. 《Annoying Precision》 (영어).