분기 (동역학계)

분기의 예. 매개변수 $\alpha$가 변화하면서 임계값 $\alpha =0$에 다다르면 동역학계의 궤적의 모양이 크게 변화한다. $\alpha <0$인 경우 평형점이 없지만, $\alpha >0$인 경우 두 개의 평형점이 존재한다.

분기 이론(分岐理論, 영어: bifurcation theory)은 어떤 매개변수에 의존하는 동역학계의 궤도 따위가, 매개변수를 변화시키면서 어떻게 변화하는지를 연구하는 수학 분야이다.

정의

분기 이론에서 다루는 분기(分岐, 영어: bifurcation)은 국소적 분기(영어: local bifurcation)와 대역적 분기(영어: global bifurcation)가 있다. 전자는 평형점의 존재 또는 부재에 대한 것이고, 후자는 주기적 궤도 따위에 대한 것이다.

국소적 분기

어떤 $n$차원 리만 다양체 $M$ 위에, 매개변수 $\lambda \in \mathbb {R}$에 의존하는 연속 시간 동역학계

$f\colon \mathbb {R} \times M\to TM$

${\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 $(\lambda ,x)\in \mathbb {R} \times M$에서 야코비 행렬

$\nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}\colon T_{x}M\to T_{x}M$

을 정의할 수 있다. 이를 $n\times n$ 실수 행렬로 간주할 때, 만약 $\nabla _{\mu }f^{\nu }|_{\lambda ,x}$가 실수 성분이 0인 복소수 고윳값을 갖는다면, 동역학계 ${\dot {x}}^{\mu }=f^{\mu }(\lambda ,x)$가 $(\lambda ,x)$에서 분기한다고 한다. 이 경우, 두 가지 경우를 구분할 수 있다.

• 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이라면, 이는 안정 상태 분기(영어: steady-state bifurcation)라고 한다.
• 만약 야코비 행렬의 고윳값이 0이 아닌 허수라면, 이는 호프 분기(영어: Hopf bifurcation)라고 한다. 이 경우, 대개 어떤 고정점이 극한 주기 궤도(영어: limit cycle)로 변화하게 된다.

이산 시간 동역학계에 대해서도 마찬가지 정의를 내릴 수 있다. 이산 시간 동역학계

$f\colon \mathbb {R} \times M\to M$

$x\mapsto f(\lambda ,x)$

가 주어졌다고 하자. 만약 $(\lambda _{0},x_{0})\in \mathbb {R} \times X$에 대하여, 야코비 행렬

$(df)_{\nu }^{\mu }|_{(\lambda ,x)}\colon T_{x}M\to T_{f(\lambda ,x)}M$

을 정의할 수 잇다. 이를 $n\times n$ 실수 행렬로 간주할 때, 만약 $df|_{(\lambda ,x)}$가 절댓값이 1인 복소수 고윳값을 갖는다면, $f$가 $(\lambda ,x)$에서 분기한다고 한다.

대역적 분기

대역적 분기(영어: global bifurcation)는 주기적 궤도(영어: periodic orbit)나 극한 주기 궤도(영어: limit cycle), 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌하게 되는 점이다. 이 역시 다양한 경우가 있다.

참고 문헌

• Guckenheimer, John. “Bifurcation”. 《Scholarpedia》 2 (6): 1517. doi:10.4249/scholarpedia.1517. ISSN 1941-6016. 
• Crawford, John David (1991년 10월 1일). “Introduction to bifurcation theory” (PDF). 《Reviews of Modern Physics》 63: 991. doi:10.1103/RevModPhys.63.991. 
• Kuznetsov, Yuri A. (1994). 《Elements of applied bifurcation theory》 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3978-7. 

바깥 고리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bifurcation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.