렙셰츠 다양체: 두 판 사이의 차이
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== 정의 == |
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<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''강한 렙셰츠 다양체'''(強한Лефшец多樣體, {{llang|en|strong Lefschetz manifold}})라고 한다. |
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''강한 렙셰츠 다양체'''(強한Лефшец多樣體, {{llang|en|strong Lefschetz manifold}})라고 한다. |
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* 모든 <math>0\le i\le n</math>에 대하여, <math>[\omega]^ |
* 모든 <math>0\le i\le n</math>에 대하여, <math>[\omega]^i\smile\colon H^{n-i}(M;\mathbb R)\to H^{n+i}(M;\mathbb R)</math>는 실수 벡터 공간의 [[동형]]이다. |
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만약 위 조건이 <math>i=0,1</math>에 대하여 성립하는 경우, '''렙셰츠 다양체'''(Лефшец多樣體, {{llang|en|Lefschetz manifold}})라고 한다. |
만약 위 조건이 <math>i=0,1</math>에 대하여 성립하는 경우, '''렙셰츠 다양체'''(Лефшец多樣體, {{llang|en|Lefschetz manifold}})라고 한다. |
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== 성질 == |
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=== 베티 수 === |
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강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 [[푸앵카레 쌍대성]] <math>\operatorname{PD}</math>를 사용하여 |
강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 [[푸앵카레 쌍대성]] <math>\operatorname{PD}</math>를 사용하여 |
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:<math>H^{n-k}(M;\mathbb R)\times H^{n-k}(M;\mathbb R)\to\mathbb R</math> |
:<math>H^{n-k}(M;\mathbb R)\times H^{n-k}(M;\mathbb R)\to\mathbb R</math> |
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:<math>(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\smile\operatorname{PD}([\omega]^k\smile\beta)</math> |
:<math>(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\smile\operatorname{PD}([\omega]^k\smile\beta)</math> |
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를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 비퇴화 반대칭 형식을 정의하기 때문이다.<ref>{{저널 인용|제목=On certain geometric and homotopy properties of closed symplectic manifolds|arxiv=math/0002071}}</ref>{{rp|6, Proof of Theorem 3.1}} |
를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 비퇴화 반대칭 형식을 정의하기 때문이다.<ref>{{저널 인용|제목=On certain geometric and homotopy properties of closed symplectic manifolds|arxiv=math/0002071}}</ref>{{rp|6, Proof of Theorem 3.1}} |
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또한, 강한 렙셰츠 다양체의 경우 <math>[\omega]^i</math>가 벡터 공간의 동형이므로, <math>0\le k\le i</math>에 대하여, |
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:<math>[\omega]^k\smile\colon H^{n-i}\to H^{n+i-2k}</math> |
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는 [[단사 함수]]이어야 한다. 따라서, <math>2n</math>차원 렙셰츠 다양체의 짝수 차수 베티 수 |
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:<math>b_0,b_2,\dots,b_{2k}\qquad(2k<n)</math> |
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및 홀수 차수 베티 수 |
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:<math>b_1,b_3,\dots,b_{2k+1}\qquad(2k+1<n)</math> |
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는 각각 증가 수열을 이룬다.<ref>{{서적 인용|arxiv=1412.8499|장=An introduction to Hodge structures|이름=Sara Angela|성=Filippini|이름2=Helge|성2=Ruddat|이름3=Alan|성3=Thompson|제목= Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics|총서=Fields Institute Communications|issn=1069-5265|출판사=Springer|언어고리=en}}</ref>{{rp|Corollary 3}} |
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=== 켈러 다양체와의 관계 === |
=== 켈러 다양체와의 관계 === |
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2015년 7월 27일 (월) 04:30 판
심플렉틱 위상수학에서, 렙셰츠 다양체(Лефшец多樣體, 영어: Lefschetz manifold)는 심플렉틱 형식의 고차 거듭제곱에 대한 합곱이 서로 다른 차수의 실수 계수 코호몰로지의 동형을 유도하는 심플렉틱 다양체이다. 콤팩트 켈러 다양체의 일반화이다.
정의
차원 심플렉틱 다양체 이 다음 조건을 만족시킨다면, 강한 렙셰츠 다양체(強한Лефшец多樣體, 영어: strong Lefschetz manifold)라고 한다.
- 모든 에 대하여, 는 실수 벡터 공간의 동형이다.
![{\displaystyle [\omega ]^{i}\smile \colon H^{n-i}(M;\mathbb {R} )\to H^{n+i}(M;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba58b75b3dc212c798df90796a2394bd8e33559c)
만약 위 조건이 에 대하여 성립하는 경우, 렙셰츠 다양체(Лефшец多樣體, 영어: Lefschetz manifold)라고 한다.
성질
베티 수
강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 푸앵카레 쌍대성 를 사용하여
![{\displaystyle (\alpha ,\beta )\mapsto \alpha \smile \operatorname {PD} ([\omega ]^{k}\smile \beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd8533427c7dbb65321bb3024fa0026197491dcf)
를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 비퇴화 반대칭 형식을 정의하기 때문이다.[1]:6, Proof of Theorem 3.1
또한, 강한 렙셰츠 다양체의 경우 가 벡터 공간의 동형이므로, 에 대하여,
![{\displaystyle [\omega ]^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e349d270646286f6c14854a470cf9d8d99cbf16)
![{\displaystyle [\omega ]^{k}\smile \colon H^{n-i}\to H^{n+i-2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01bb67391357f8bbe4c44f0443b6034b69deb2f4)
는 단사 함수이어야 한다. 따라서, 차원 렙셰츠 다양체의 짝수 차수 베티 수
및 홀수 차수 베티 수
는 각각 증가 수열을 이룬다.[2]:Corollary 3
켈러 다양체와의 관계
어려운 렙셰츠 정리(프랑스어: théorème de Lefschetz vache, 영어: hard Lefschetz theorem)에 따르면, 모든 콤팩트 켈러 다양체는 강한 렙셰츠 다양체이다.
일반적으로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
원환면과 미분동형이 아닌 콤팩트 영다양체(영어: nilmanifold)는 렙셰츠 다양체를 이룰 수 없다.[3]
예
강한 렙셰츠 다양체이지만 켈러 다양체가 아닌 가해다양체(영어: solvmanifold) 및 렙셰츠 다양체이지만 강한 렙셰츠 다양체가 아닌 가해다양체가 존재한다.[4]
형식적 다양체(영어: formal manifold)가 아닌 렙셰츠 다양체가 존재한다.[5]
역사
솔로몬 렙셰츠는 모든 복소수 사영 대수다양체가 강한 렙셰츠 다양체임을 보였고, "렙셰츠 다양체"라는 이름은 여기서 유래하였다.
알렉산더 그로텐디크는 렙셰츠의 이 정리를 프랑스어: théorème de Lefschetz vache 테오렘 드 렙셰츠 바슈[*]라고 불렀다. 프랑스어: vache 바슈[*]는 사전적으로는 "암소"를 뜻하지만, 속어로 매우 비속한 뜻을 가진다. 영어에서, 이 정리의 이름은 순화된 단어인 영어: hard 하드[*](어려운)로 번역되었다.
참고 문헌
- ↑ “On certain geometric and homotopy properties of closed symplectic manifolds”. arXiv:math/0002071.
- ↑ Filippini, Sara Angela; Ruddat, Helge; Thompson, Alan. 〈An introduction to Hodge structures〉. 《Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics》. Fields Institute Communications. Springer. arXiv:1412.8499. ISSN 1069-5265.
- ↑ Benson, C.; Gordon, C. (1988). “Kähler and symplectic structures on nilmanifolds”. 《Topology》 27: 513-518.
- ↑ Yamada, Takumi (2002). “Examples of Compact Lefschetz Solvmanifolds”. 《Tokyo Journal of Mathematics》 25 (2): 261-283.
- ↑ Cavalcanti, Gil R. (2007). “The Lefschetz property, formality and blowing up in symplectic geometry”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 359: 333–348. arXiv:math/0403067. Bibcode:2004math......3067C. doi:10.1090/S0002-9947-06-04058-X. JSTOR 20161579. MR 2247894.
바깥 고리
- “Lefschetz theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Hard Lefschetz theorem”. 《nLab》 (영어).