페터-바일 정리

군 표현론에서, 페터-바일 정리(영어: Peter–Weyl theorem)는 콤팩트 위상군 위의 기약 표현들이 군 위의 함수 공간의 기저를 이룬다는 정리다.

정의

콤팩트 위상군 $G$ 위의 제곱 적분 가능 복소 함수들의 힐베르트 공간 $L^{2}(G;\mathbb {C} )$를 생각하자. 여기서 제곱 적분 가능이란 하르 측도에 따른 것이며, 편의상 $\operatorname {vol} (G)=1$로 규격화하자.

$G$의 임의의 유한 차원 유니터리 기약표현 $r\colon G\to \operatorname {U} (V_{r})$에 대하여, $V_{r}$에 임의의 기저를 잡아 행렬 성분들 $r_{ij}\colon G\to \mathbb {C}$ ($i,j=1,\dots ,\dim _{\mathbb {C} }V_{r})$)을 정의할 수 있다. 페터-바일 정리에 따르면, 함수들

${\sqrt {\dim _{\mathbb {C} }V_{r}}}r_{ij}\colon G\to \mathbb {C}$

은 $L^{2}(G;\mathbb {C} )$의 정규직교기저를 이룬다.

역사

프리츠 페터(독일어: Fritz Peter)와 헤르만 바일이 1927년에 증명하였다.

참고 문헌

• Knapp, Anthony (1986). 《Representation theory of semisimple groups》. Princeton University Press. ISBN 0-691-09089-0. 
• Bump, Daniel (2004). 《Lie groups》. Springer. ISBN 0-387-21154-3. 

바깥 고리

• “Peter-Weyl theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.