함수해석학에서, 파르스발 항등식(Parseval恒等式)은 푸리에 급수의 수렴성에 관한 중요한 결과이다. 수학자 마르크앙투안 파르스발의 이름을 땄다. 기하학적 관점에서 파르스발 항등식은 내적 공간에서의 피타고라스 정리로 볼 수 있다.
가 힐베르트 공간이라 하고,
가
의 정규 직교 기저라 하자. 그러면 임의의
에 대해 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{e\in B}\left\vert \left\langle x,e\right\rangle \right\vert ^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50ebd3b979fa6520ddb9a9143351de64bee17218)
피타고라스 정리에 따르면 벡터의 길이의 제곱은 정규 직교 기저로 나타낸 성분들의 제곱의 합과 같은데, 파르스발 항등식은 이를 일반화한 것이라 할 수 있다.
보다 일반적으로, 파르스발 항등식은
가 내적 공간이고
의 선형생성이
에서 조밀한 경우에도 성립한다.
가 조밀하지 않은 경우 등호가 성립하지 않을 수도 있으며, 대신에 등호를 부등호 ≤로 바꾼 베셀 부등식이 성립한다.
푸리에 급수[편집]
구체적인 예로, 힐베르트 공간
와 정규 직교 기저
를 생각해 보자. 함수
의 푸리에 계수를
![{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/363665c27375e5895f5f9de37b7b9acdaea33736)
라 하면, 파르스발 항등식에 의해 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \Vert f\Vert ^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4954326455e2427cb05ef60802b0bed50db9c910)
외부 링크[편집]