한붓그리기

쾨니히스베르크의 다리 그래프. 이 그래프는 오일러 회로를 가지고 있지 않다.

그래프 이론에서 오일러 경로(Euler path, Eulerian path)는 그래프의 모든 변을 단 한 번씩만 통과하는 경로를 뜻한다. 1736년 레온하르트 오일러가 쾨니히스베르크의 다리 문제를 푼 것에서 유래되었다. 흔히 한붓그리기 문제라고도 한다.

그 중에서 같은 꼭짓점에서 시작해서 끝나는 오일러 경로를 오일러 회로(Euler circuit, Eulerian circuit)라고 한다. 오일러 회로를 지닌 무향그래프를 오일러 그래프라고 한다. 오일러는 그래프가 오일러 회로를 가질 필요충분조건은

• 그 그래프가 연결된 그래프이고,
• 모든 꼭짓점의 차수가 짝수이어야 한다.

라는 것을 알아냈다. 오일러 회로가 아닌 오일러 경로(즉, 시작 꼭짓점과 끝 꼭짓점이 다른 경로)가 있을 필요충분조건은

• '정확히 두 개의 꼭지점만이 홀수의 차수를 가지고
• 그 그래프가 연결되어 있다.'

라는 것이다. 이와 같은 조건은 다중 그래프에서도 유효하다.

• 그리고 홀수차수가 2개인 그래프는 한 홀수점에서 출발하여 다른 홀수점이 종착점이 되도록 그리면 된다.

같이 보기

• 해밀톤 경로

바깥 고리

• (영어) Discussion of early mentions of Fleury's algorithm