비교 판정법

비교판정법(comparision test): 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$의 수렴여부를 판정하기 위해 항 $a_{n}\,$과 이미 수렴여부가 알려진 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$의 항 $b_{n}\,$를 비교하여 수렴여부를 결정하는 판정법이다. 가장 기본적인 비교판정법은 실수를 항으로 갖는 양항급수의 수렴판정에 관한 것이다. 이는 절대수렴하는 급수는 수렴한다는 사실에 따라 복소수를 항으로 갖는 급수의 수렴판정으로 확장될 수 있다. 또한 급수의 수렴은 수열의 극한의 존재를 바탕으로 정의 되었으므로 항의 비교에 관련된 조건을 약화시킨 형태의 판정법(극한비교판정법)을 얻을 수 있다.

(1) 양항급수에 대한 비교판정법

모든 자연수 $n\,$에 대해

• $0\leq \ a_{n}\leq \ b_{n}\,$이고, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,$이 수렴급수이면 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$도 수렴급수이다.
• $0\leq \ b_{n}\leq \ a_{n}\,$이고, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\,$이 발산급수이면 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$도 발산급수이다.

(2) 비교판정법의 확장

확장된 형태의 비교판정법은 양항급수가 아닌 급수, 복소수를 항으로 갖는 급수의 수렴판정에 이용될 수 있다. 모든 자연수 $n\,$에 대해

• $|a_{n}|\leq \ |b_{n}|\,$이고, $\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|\,$이 수렴하면 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|\,$도 수렴한다. 이는 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$이 수렴급수임을 말한다.
• $|b_{n}|\leq \ |a_{n}|\,$이고, $\sum _{n=1}^{\infty }|b_{n}|\,$이 발산하면 $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|\,$도 발산한다. 그러나 이는 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$이 발산급수임을 말하는 것은 아니다.

(3) 극한비교판정법

모든 자연수 $n\,$에 대해

• $0<a_{n},\,0<b_{n}\,$이고, 극한 $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\,$이 존재하고 0이 아닐 때 두 급수 $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ 가운데 어느 하나가 수렴하면 다른 하나도 수렴한다. (하나가 발산하면 다른 하나도 발산한다.)