처짐각법

The practical aspect of the slope deflection method and its application to the design of the Roosevelt Road Viaduct (1920)

처짐각법(-角法, Slope deflection method) 또는 요각법(撓角法)은 1915년에 미네소타 대학교의 조지 A. 매니 교수가 발표한 연속보와 뼈대 구조에 적용할 수 있는 구조해석법의 하나이다. 모멘트 분배법이 발표되기 전까지 정확한 구조해석 방법의 한 가지로 널리 사용되었다. 기본적으로 절점과 부재의 회전각을 미지수로 하기 때문에, 변위법 또는 강성도법에 속한다.

처짐각법에서는 모멘트로 인해 발생하는 부재의 휨과 처짐각을 고려하지만, 그 영향이 상대적으로 적은 전단 변형과 축방향 변형은 무시한다.

처짐각법은 소규모의 특정 구조물에 대한 효율적인 구조해석 방법이며, 모멘트 분배법을 이해하기 위한 기본이 되는 구조해석 방법이다. 또한 매트릭스 구조 해석과도 관련이 깊다.

개요

절점의 회전각(처짐각)과 부재의 현회전각을 미지수로 하여 변위의 적합조건에 맞도록 하중을 나타낸 뒤, 힘의 평형조건을 만족시키는 해를 구한다. 해석 결과 직접적으로 얻는 해는 변위이다.

처짐각 방정식

처짐각 방정식은 자유도에 해당하는 변위의 발생으로 부재단에 생기는 모멘트를 부재의 강성도와 부재 양단의 변위 즉 처침과 처짐각의 항으로 나타낸 식을 말한다. 부재ab의 a단과 b단에에 발생하는 모멘트는 각각 다음과 같이 표현된다.

$M_{ab}={\frac {EI_{ab}}{L_{ab}}}\left(4\theta _{a}+2\theta _{b}-6{\frac {\Delta }{L_{ab}}}\right)$

$M_{ba}={\frac {EI_{ab}}{L_{ab}}}\left(2\theta _{a}+4\theta _{b}-6{\frac {\Delta }{L_{ab}}}\right)$

여기서 $\theta _{a}$, $\theta _{b}$는 각각 a단과 b단의 처짐각이며 $\Delta$는 a와 b 지점의 상대변위이다. 처짐각 방정식은 종종 강도계수(stiffness factor) $K={\frac {I_{ab}}{L_{ab}}}$와 현회전각 $\psi ={\frac {\Delta }{L_{ab}}}$을 도입하여 다음과 같이 나타내어지기도 한다.

$M_{ab}=2EK\left(2\theta _{a}+\theta _{b}-3\psi \right)$

$M_{ba}=2EK\left(\theta _{a}+2\theta _{b}-3\psi \right)$

처짐각 방정식의 유도

경간 길이 $L_{ab}$, 휨강성 $EI_{ab}$인 단순보 AB의 양단에 각각 시계방향의 모멘트 하중 $M_{ab}$, $M_{ba}$가 작용하여, 하중의 작용 방향과 같은 방향으로 $\theta _{a}$, $\theta _{b}$의 처짐각이 발생하였고, 지점 AB의 상대 변위로 인한 시계방향의 현회전각이 $\Delta /L$라면, 단위하중법이나 모멘트면적법 등을 이용하여 다음과 같은 관계식을 유도할 수 있다.

$\theta _{a}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}={\frac {L_{ab}}{3EI_{ab}}}M_{ab}-{\frac {L_{ab}}{6EI_{ab}}}M_{ba}$

$\theta _{b}-{\frac {\Delta }{L_{ab}}}=-{\frac {L_{ab}}{6EI_{ab}}}M_{ab}+{\frac {L_{ab}}{3EI_{ab}}}M_{ba}$

위의 두 식을 연립하면 양단의 모멘트 $M_{ab}$, $M_{ba}$를 처짐각$\theta _{a}$, $\theta _{b}$와 현회전각 $\Delta /L_{ab}$로 표현한 처짐각 방정식을 얻는다.

평형 조건

절점 평형

절점 평형 방정식은 각 부재의 재단 모멘트(member end moment)로 인한 각 절점에서의 모멘트의 평형을 나타내는 식이다. 즉, 절점의 고정단 모멘트와 그 절점에 연결된 각 부재의 재단 모멘트의 총 합에 대한 평형 조건식이다. 자유도를 갖는 각 절점에 대해 다음의 평형 조건을 만족해야 한다.

$\Sigma \left(M^{f}+M_{member}\right)=\Sigma M_{joint}$

여기서 $M_{member}$는 부재의 재단 모멘트, $M^{f}$는 고정단 모멘트, $M_{joint}$는 절점에 재하된 모멘트이며, 동일한 부호체계로 나타내어진다.

전단 평형

횡방향 변위나 지점의 침하 등으로 인한 현회전각이 발생하는 구조물을 처짐각법으로 해석하는 경우 절점 평형 방정식에 더하여 전단력의 평형 조건이 필요하다.

예제

예제 연속보

오른쪽 그림과 같은 연속보 구조물을 해석해 보자.

• 부재 AB, BC, CD의 길이는 모두 $L=10\ m$로 같고,
• 휨 강성은 각각 EI, 2EI, EI이다.
• 부재 AB는 지점 A로부터 $a=3\ m$의 위치에 크기 $P=10\ kN$인 집중 하중이,
• 부재 BC는 부재 전체에 걸쳐 $q=1\ kN/m$의 등분포 하중이,
• 부재 CD는 중앙에 크기 $P=10\ kN$인 집중 하중이 재하되어 있다.

계산 과정에서, 시계 방향의 회전각과 모멘트를 양(+)으로 한다.

자유도

절점 A, B, C의 회전각 $\theta _{A}$, $\theta _{B}$, $\theta _{C}$을 미지수로 한다. 지점 침하등으로 인한 현회전각은 없다.

고정단 모멘트

고정단 모멘트는 다음과 같다.

$M_{AB}^{f}=-{\frac {Pab^{2}}{L^{2}}}=-{\frac {10\times 3\times 7^{2}}{10^{2}}}=-14.7\ kN\cdot m$

$M_{BA}^{f}={\frac {Pa^{2}b}{L^{2}}}={\frac {10\times 3^{2}\times 7}{10^{2}}}=6.3\ kN\cdot m$

$M_{BC}^{f}=-{\frac {qL^{2}}{12}}=-{\frac {1\times 10^{2}}{12}}=-8.333\ kN\cdot m$

$M_{CB}^{f}={\frac {qL^{2}}{12}}={\frac {1\times 10^{2}}{12}}=8.333\ kN\cdot m$

$M_{CD}^{f}=-{\frac {PL}{8}}=-{\frac {10\times 10}{8}}=-12.5\ kN\cdot m$

$M_{DC}^{f}={\frac {PL}{8}}={\frac {10\times 10}{8}}=12.5\ kN\cdot m$

처짐각 방정식

$M_{AB}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{A}+2\theta _{B}\right)=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}$

$M_{BA}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{A}+4\theta _{B}\right)=0.2EI\theta _{A}+0.4EI\theta _{B}$

$M_{BC}={\frac {2EI}{L}}\left(4\theta _{B}+2\theta _{C}\right)=0.8EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}$

$M_{CB}={\frac {2EI}{L}}\left(2\theta _{B}+4\theta _{C}\right)=0.4EI\theta _{B}+0.8EI\theta _{C}$

$M_{CD}={\frac {EI}{L}}\left(4\theta _{C}\right)=0.4EI\theta _{C}$

$M_{DC}={\frac {EI}{L}}\left(2\theta _{C}\right)=0.2EI\theta _{C}$

절점 평형 방정식

절점 A, B, C에서 각각 모멘트 평형을 만족해야 하므로,

$\Sigma M_{A}=M_{AB}+M_{AB}^{f}=0.4EI\theta _{A}+0.2EI\theta _{B}-14.7=0$

$\Sigma M_{B}=M_{BA}+M_{BA}^{f}+M_{BC}+M_{BC}^{f}=0.2EI\theta _{A}+1.2EI\theta _{B}+0.4EI\theta _{C}-2.033=0$

$\Sigma M_{C}=M_{CB}+M_{CB}^{f}+M_{CD}+M_{CD}^{f}=0.4EI\theta _{B}+1.2EI\theta _{C}-4.167=0$

절점 변위

위의 평형 방정식을 연립하면, 다음과 같은 절점 변위를 얻는다.

$\theta _{A}={\frac {40.219}{EI}}$

$\theta _{B}={\frac {-6.937}{EI}}$

$\theta _{C}={\frac {5.785}{EI}}$

재단 모멘트의 계산

절점 변위를 이용해 재단 모멘트를 구한다.

$M_{AB}=0.4\times 40.219+0.2\times \left(-6.937\right)-14.7=0$

$M_{BA}=0.2\times 40.219+0.4\times \left(-6.937\right)+6.3=11.57$

$M_{BC}=0.8\times \left(-6.937\right)+0.4\times 5.785-8.333=-11.57$

$M_{CB}=0.4\times \left(-6.937\right)+0.8\times 5.785+8.333=10.19$

$M_{CD}=0.4\times 5.785-12.5=-10.19$

$M_{DC}=0.2\times 5.785+12.5=13.66$

참고 문헌

• McCormac, Jack C.; James K. Nelson, Jr. (1997). Structural Analysis: A Classical and Matrix Approach, 2nd, Addison-Wesley, 430-451. ISBN 0-673-99753-7.
• 양창현 (2001-01-10). 《구조역학》, 4판, 청문각, 357-389. ISBN 89-7088-709-1.

같이 보기

• 모멘트 분배법
• 고정단 모멘트