직선과 직선 사이의 거리는 평행한 두 직선 사이의 평면상에서 최단 거리를 말한다.
유도와 공식[편집]
유도와 공식1[편집]
평행한 두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다..
![{\displaystyle y=mx+b_{1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b689641493203ec74490249169faa2c00f5078)
![{\displaystyle y=mx+b_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4faba564405e8b91ea3eddffcf275ce431dd34)
두 직선이 평행하다고 가정했기 때문에, 한 직선에 수직한 선은 다른 한 직선에도 수직이다. 이 때 여러 수직선이 가능한데, 원점을 지나는 수직선을 잡아보자. 이 수직선의 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
![{\displaystyle y=-x/m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/759f65b5aa41230c230f523c422c5c3324e2b213)
두 직선 사이의 거리는 이 수직선이 두 직선과 만드는 교점 사이의 거리와 같다. 수직선과 두 직선 사이의 교점은 다음의 두 이원일차연립방정식을 풀어서 알 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f42d0562ac1d8b33fa4c2a97424e238cd78599)
![{\displaystyle {\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62df81d6f0cc8f9c3119c75b986f589cd09b37d)
계산을 통해 얻은 교점은 다음과 같다.
![{\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bc05686826adbadd46fba6e2f79a2b505cf168)
![{\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae9ae00f4c576f3fd4f3c6612f5a4198cf4f233)
따라서 두 점 사이의 거리는 피타고라스 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.
![{\displaystyle d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8472bd393c2dc63037d03a5ebdef6659dcb857f7)
이를 정리하면 다음과 같다.
![{\displaystyle d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92936d8bf4b2c805328cf5e049dd767b545855d6)
공식2[편집]
두 직선의 방정식을 각각 다음과 같이 써보자.
![{\displaystyle ax+by+c_{1}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78ef38afd17d0cc35cd6db3028391d84cad524e2)
![{\displaystyle ax+by+c_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/976134707ab17a2599c142ac6ba794ecbe063751)
그러면 위에서 구한 공식에 새로 정의한 상수를 집어넣으면 다음과 같이 정리된다.
![{\displaystyle d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/accd1aa172d44c7b35228ed52f4c99db274104ca)
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Abstand In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 17-19 (German)
- Hardt Krämer, Rolf Höwelmann, Ingo Klemisch: Analytische Geometrie und Lineare Akgebra. Diesterweg, 1988, ISBN 3-425-05301-9, p. 298 (German)