오일러의 오각수 정리는 오일러 함수의 무한곱표현과 무한합표현에 대한 항등식이다.
∏ n = 1 ∞ ( 1 − q n ) = ∑ n = − ∞ ∞ ( − 1 ) n q n ( 3 n − 1 ) / 2 {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}}
다시 쓰자면,
( 1 − x ) ( 1 − x 2 ) ( 1 − x 3 ) ⋯ = 1 − x − x 2 + x 5 + x 7 − x 12 − x 15 + x 22 + x 26 + ⋯ {\displaystyle (1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})\cdots =1-x-x^{2}+x^{5}+x^{7}-x^{12}-x^{15}+x^{22}+x^{26}+\cdots }
오각수의 수열은 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176로 주어지고, n 번째의 오각수는 n ( 3 n − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {n(3n-1)}{2}}} 로 주어지는데, 이 때문에 오각수 정리라 불린다.
로 주어지는데, 이 때문에 오각수 정리라 불린다.
