수치해석학에서 에르미트 보간법(Hermite interpolation)은 프랑스의 수학자 에르미트의 이름을 딴 보간법이다. 다항함수 형태로 보간된다.
뉴턴 보간법과 달리, 에르미트 보간법은 자료 점들을 값과 1차 미분값을 대응시킨다.
즉 n차 미분값들
이 n 자료 점들
에 추가로 주어져야만 한다.
뉴턴 다항식이 최대 자유도 n − 1을 가지는 반면, 이 보간법의 다항식 결과는 대부분 2n − 1의 자유도를 가지게 된다.
함수 f의 에르미트 다항식을 계산하기 위해 분할차(divided difference)들을 사용할 때, 첫단계는 각 점들을 복제하는 것이다.
그러므로 우리가 보간하기 원하는 함수 f에 대해 n + 1 자료점들
과 값들,
과
이 주어지면 다음과 같은 새로운 자료집합을 만든다.
![{\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5282c240e91c66f3305772eeb79fe29ac8a2c5d)
![{\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4776c39dc9d056ce7992a56ed004f2f38beadc4)
이제 지점들
에 대한 분할차 표를 만든다. 하지만 몇몇 분할차들은 정의되지 않았다.
![{\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\implies f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3588ca4962f1f296e2cdea2c000c7ec2a8e66f)
이 경우 분할차를
로 대체한다. 나머지 것들은 정상적으로 계산된다.
이제, 이 과정은 더 고차(高次) 미분값들의 에르미트 보간이 가능하도록 일반화될 수 있다.
각 점이 같은 개수의 미분값들을 가져야 한다는 요구가 없더라도, 각 점들에 대해 k차 미분값들이 주어졌다고 하자.
그러면 자료집합
은 각 자료점들이 k개 복제되면서 만들어진다.
그러면 n 자료점들에 대해 각도가 대부분
인 다항식 하나가 생성될 것이다.
이제 동일한 값들 m개의 분할차는
으로 대체된다.
예를 들면,
과
등이다.
함수
의 경우를 생각해보자.
에서 함수를 두번 미분하면서 다음 자료를 얻는다.
x |
ƒ(x) |
ƒ'(x) |
ƒ''(x)
|
−1
|
2 |
−8 |
56
|
0
|
1 |
0 |
0
|
1
|
2 |
8 |
56
|
두 미분값들을 가지고 집합
를 구성한다.
분할차표는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{8})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/751e0b3ad317c2c01256fc99f6b192f1cf99a4ae)
그리고 뉴턴 다항식을 생성할 때처럼,
분할차표의 대각선 계수들을 가져와서 k번째 계수에
를 곱하면 다음과 같은 다항식을 생성할 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad +4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad +45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad -10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d180f0986ba90536ab8e3443f801b05ada96c2)
그래픽스 응용[편집]
마이크로소프트사의 다이렉트 X SDK에서는 D3DXVecHermite라는 함수로 에르미트 보간법을 이용할 수 있다.
D3DXVecHermite 함수의 정의는 다음과 같다.
D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVecHermite( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pT1,
CONST D3DXVECTOR3 *pV2, CONST D3DXVECTOR3 *pT2, FLOAT s );
위에서 각 인수의 의미는 다음과 같다.
- pV1: 시작점의 좌표(0,0,0에서 이 점까지의 벡터값)
- pT1: 시작점에서 다음 지점까지의 벡터값(= pV2 - pV1)
- pV2: 다음 지점의 좌표(0,0,0에서 이 점까지의 벡터값)
- pT2: 다음 지점에서 그 다음지점의 벡터값(= pV3 - pV2)
- s: 0.0f ~ 0.1f의 상수
아래와 같이 사용할 수 있다.
D3DXVECTOR3 pOut(0,0,0), pV1(-2.0f,-2.0f,-2.0f), pT1, pV2(1.0f,1.0f,1.0f), pT2, pV3(2.0f,1.5f,3.0f);
FLOAT s;
pT1 *= 0.0f;
pT2 *= 0.0f;
pT1 = pV2 - pV1;
pT2 = pV3 - pV2;
s = 0.5f;
D3DXVecHermite(&pOut, &pV1, &pT1, &pV2, &pT2, s);
pOut.x , pOut.y, pOut.z는 에르미트 보간법에 의하여 발생된 곡선의 0.5f 지점(중앙지점)의 3차원 좌표값을 알려준다.
이것은 모노레일, 게임, 수로건설, 철도건설, 항로계산등의 실제적인 업무에 사용되기도 한다.
이후 더 부드러운 곡선을 만들어 내는 방법인 Catmull-Rom 보간법이 개발되었기에, 현재는 에르미트 보간법을 대신하여 많이 사용되고 있다.
하지만, 이러한 방식을 처음 고안한 사람이 에르미트이기에, 실제로는 Catmull-Rom 보간법을 사용하면서도 에르미트 보간법이라고 통칭하는 경우도 많다.
같이 보기[편집]