에르미트 보간법

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수치해석에서 에르미트 보간법(Hermite interpolation)은 프랑스의 수학자 에르미트의 이름을 딴 보간법이다. 다항함수 형태로 보간된다.

개요[편집]

뉴턴 보간법과 달리, 에르미트 보간법은 자료 점들을 값과 1차 미분값을 대응시킨다. 즉 n차 미분값들 (x_0, y_0'),\ldots,(x_{n-1}, y_{n-1}')n 자료 점들 (x_0, y_0),\ldots,(x_{n-1}, y_{n-1})에 추가로 주어져야만 한다. 뉴턴 다항식이 최대각 n − 1을 가지는 반면, 이 보간법의 다항식 결과는 대부분 2n − 1의 각도를 가지게 된다.

사용[편집]

함수 f의 에르미트 다항식을 계산하기 위해 분할차(divided difference)들을 사용할 때, 첫단계는 각 점들을 복제하는 것이다. 그러므로 우리가 보간하기 원하는 함수 f에 대해 n + 1 자료점들 x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n과 값들, f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n)f'(x_0), f'(x_1), \ldots, f'(x_n)이 주어지면 다음과 같은 새로운 자료집합을 만든다.

z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}
z_{2i}=z_{2i+1}=x_i

이제 지점들 z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}에 대한 분할차 표를 만든다. 하지만 몇몇 분할차들은 정의되지 않았다.

z_i = z_{i + 1}\implies f[z_i, z_{i+1}] = \frac{f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}} = \frac{0}{0}

이 경우 분할차를 \frac{f'(z_i)}{1}로 대체한다. 나머지 것들은 정상적으로 계산된다.

이제, 이 과정은 더 고차(高次) 미분값들의 에르미트 보간이 가능하도록 일반화될 수 있다. 각 점이 같은 개수의 미분값들을 가져야 한다는 요구가 없더라도, 각 점들에 대해 k차 미분값들이 주어졌다고 하자. 그러면 자료집합 z_0, z_1, \ldots, z_{kn-1}은 각 자료점들이 k개 복제되면서 만들어진다. 그러면 n 자료점들에 대해 각도가 대부분 (k + 1)n - 1인 다항식 하나가 생성될 것이다. 이제 동일한 값들 m개의 분할차는 \frac{f^{(m - 1)}(x_i)}{(m - 1)!}으로 대체된다.

예를 들면, f[x_i, x_i, x_i, x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}f[x_i, x_i, x_i]=\frac{f^{(2)}(x_i)}{2} 등 이다.

예시[편집]

함수 f(x) = x^8 + 1의 경우를 생각해보자. x \in \{-1, 0, 1\}에서 함수를 두번 미분하면서 다음 자료를 얻는다.

x ƒ(x) ƒ'(x) ƒ''(x)
−1 2 −8 56
0 1 0 0
1 2 8 56

두 미분값들을 가지고 집합 \{z_i\} = \{-1, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1\}를 구성한다. 분할차표는 다음과 같다.


\begin{matrix}
z_0 = -1  &  f[z_0] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\
          &              &  \frac{f'(z_0)}{1} = -8  &                         &                           &      &     &   &    & \\
z_1 = -1  &  f[z_1] = 2  &                          & \frac{f''(z_1)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\
          &              &  \frac{f'(z_1)}{1} = -8  &                         &  f[z_3,z_2,z_1,z_0] = -21 &      &     &   &    & \\
z_2 = -1  &  f[z_2] = 2  &                          & f[z_3,z_2,z_1] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\
          &              &  f[z_3,z_2] = -1         &                         &  f[z_4,z_3,z_2,z_1] = -6  &      & -10 &   &    & \\
z_3 =  0  &  f[z_3] = 1  &                          & f[z_4,z_3,z_2] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\
          &              &  \frac{f'(z_3)}{1} = 0   &                         &  f[z_5,z_4,z_3,z_2] = -1  &      &  -2 &   & -1 & \\
z_4 =  0  &  f[z_4] = 1  &                          & \frac{f''(z_4)}{2} = 0  &                           &   1  &     & 2 &    & 1 \\
          &              &  \frac{f'(z_4)}{1} = 0   &                         &  f[z_6,z_5,z_4,z_3] =  1  &      &   2 &   &  1 & \\
z_5 =  0  &  f[z_5] = 1  &                          & f[z_6,z_5,z_4] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\
          &              &  f[z_6,z_5] = 1          &                         &  f[z_7,z_6,z_5,z_4] =  6  &      &  10 &   &    & \\
z_6 =  1  &  f[z_6] = 2  &                          & f[z_7,z_6,z_5] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\
          &              &  \frac{f'(z_7)}{1} = 8   &                         &  f[z_7,z_6,z_5,z_4] =  21 &      &     &   &    & \\
z_7 =  1  &  f[z_7] = 2  &                          & \frac{f''(z_7)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\
          &              &  \frac{f'(z_8)}{1} = 8   &                         &                           &      &     &   &    & \\
z_8 =  1  &  f[z_8] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\
\end{matrix}

그리고 뉴턴 다항식을 생성할 때처럼, 분할차표의 대각선 계수들을 가져와서 k번째 계수에 \prod_{i=0}^{k-1} (x - z_i)를 곱하면 다음과 같은 다항식을 생성할 수 있다.


\begin{align}
P(x) &= 2 - 8(x+1) + 28(x+1) ^2 - 21 (x+1)^3 + 15x(x+1)^3 - 10x^2(x+1)^3 \\
&\quad + 4x^3(x+1)^3 -1x^3(x+1)^3(x-1)+x^3(x+1)^3(x-1)^2 \\
&=2 - 8 + 28 - 21 - 8x + 56x - 63x + 15x + 28x^2 - 63x^2 + 45x^2 - 10x^2 - 21x^3 \\
&\quad + 45x^3 - 30x^3 + 4x^3 + x^3 + x^3 + 15x^4 - 30x^4 + 12x^4 + 2x^4 + x^4 \\
&\quad - 10x^5 + 12x^5 - 2x^5 + 4x^5 - 2x^5 - 2x^5 - x^6 + x^6 - x^7 + x^7 + x^8 \\
&= x^8 + 1.
\end{align}

그래픽스 응용[편집]

마이크로소프트사의 다이렉트 X SDK에서는 D3DXVecHermite라는 함수로 에르미트 보간법을 이용할 수 있다. D3DXVecHermite 함수의 정의는 다음과 같다.

D3DXVECTOR3* WINAPI D3DXVecHermite( D3DXVECTOR3 *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV1, CONST D3DXVECTOR3 *pT1, 
CONST D3DXVECTOR3 *pV2, CONST D3DXVECTOR3 *pT2, FLOAT s );

위에서 각 인수의 의미는 다음과 같다.

  • pV1: 시작점의 좌표(0,0,0 에서 이 점까지의 벡터값)
  • pT1: 시작점에서 다음 지점까지의 벡터값(= pV2 - pV1)
  • pV2: 다음 지점의 좌표(0,0,0 에서 이 점까지의 벡터값)
  • pT2: 다음 지점에서 그 다음지점의 벡터값(= pV3 - pV2)
  • s: 0.0f ~ 0.1f의 상수

아래와 같이 사용할 수 있다.

D3DXVECTOR3 pOut(0,0,0), pV1(-2.0f,-2.0f,-2.0f), pT1, pV2(1.0f,1.0f,1.0f), pT2, pV3(2.0f,1.5f,3.0f);
FLOAT s;
pT1 *= 0.0f;
pT2 *= 0.0f;
pT1 = pV2 - pV1;
pT2 = pV3 - pV2;
s = 0.5f;
D3DXVecHermite(&pOut, &pV1, &pT1, &pV2, &pT2, s);

pOut.x , pOut.y, pOut.z는 에르미트 보간법에 의하여 발생된 곡선의 0.5f 지점(중앙지점)의 3차원 좌표값을 알려준다. 이것은 모노레일, 게임, 수로건설, 철도건설, 항로계산등의 실제적인 업무에 사용되기도 한다.

이후 더 부드러운 곡선을 만들어 내는 방법인 Catmull-Rom 보간법이 개발되었기에, 현재는 에르미트 보간법을 대신하여 많이 사용되고 있다. 하지만, 이러한 방식을 처음 고안한 사람이 에르미트이기에, 실제로는 Catmull-Rom 보간법을 사용하면서도 에르미트 보간법이라고 통칭하는 경우도 많다.

같이 보기[편집]