슈타켈베르크 모형

경제학에서 슈타켈베르크 모형은 선도 기업이 먼저 생산량을 결정하고, 후발 기업이 생산량을 결정하는 순차적 전략 과점 모형이다. 이 모형은 독일의 경제학자인 하인리히 프라이헤어 폰 슈타켈베르크(Heinrich Freiherr von Stackelberg)의 이름을 따 지어졌다.

쿠르노 모형과 슈타켈베르크 모형의 차이점은 쿠르노 모형에서 각 기업이 동시에 생산량을 결정하는 동시적 게임의 성격을 가진데 반해 슈타켈베르크 모형에서는 선도 기업이 먼저 생산량을 결정하고 후발 기업이 생산량을 결정하는 순차적 게임이라는 점이다.

부분게임 완전 균형

슈타켈베르크 모형은 부분게임 완전 균형을 구하는 방법으로 풀 수 있다. 부분게임 완전 균형을 구하려면 역진귀납법을 통해 후발 기업의 최적 반응을 먼저 고려하여야 한다.

선도 기업의 생산량을 $q_{L}$, 후발 기업의 생산량을 $q_{F}$라 하고 P를 역수요함수, C를 비용함수, MC를 한계비용이라고 하자. 후발 기업의 이윤은 $\pi _{F}=P(q_{L}+q_{F})\cdot q_{F}-C_{F}(q_{F})$이므로 후발 기업의 최적 반응은 다음 식을 만족하여야 한다.

${\frac {\partial \pi _{F}}{\partial q_{F}}}={\frac {\partial P(q_{L}+q_{F})}{\partial q_{F}}}\cdot q_{F}+P(q_{L}+q_{F})-MC_{F}(q_{F})=0$

위의 방정식을 정리하여 후발 기업의 생산량은 선도 기업의 생산량의 함수 $q_{F}(q_{L})$로 나타내어 정리할 수 있다. 선도 기업의 이윤함수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\pi _{L}=P(q_{L}+q_{F}(q_{L}))\cdot q_{L}-C_{L}(q_{L})$

선도 기업의 이윤을 극대화하는 조건은 다음과 같다. 선도 기업의 이윤을 극대화하는 생산량을 찾으면 슈타켈베르크 균형을 구할 수 있다.

예시

이제 선형 수요함수를 가정하여 풀이한다. 역수요함수는 $P(q_{L}+q_{F})=a-b(q_{L}+q_{F})$라고 가정할 때 후발 기업의 최적 반응은 다음과 같은 과정으로 구한다. 편의상 한계비용은 c로 같은 상수임을 가정한다.

• 후발 기업 이윤함수: $\pi _{F}=\left(a-b(q_{L}+q_{F})\right)q_{F}-C_{F}(q_{F})$
• 이윤극대화: ${\frac {\partial \pi _{F}}{\partial q_{F}}}=a-bq_{L}-2bq_{F}-c=0$
• 후발기업의 최적반응함수: $q_{F}={\frac {a-c}{2b}}-{\frac {1}{2}}q_{L}$

선도 기업의 이윤함수는 $\pi _{L}=\left(a-b(q_{L}+q_{F})\right)q_{L}-C_{L}(q_{L})$이다. q_F에 후발 기업의 최적반응함수를 대입한다.

$\pi _{L}=\left(a-b\left(q_{L}+{\frac {a-c}{2b}}-{\frac {1}{2}}q_{L}\right)\right)q_{L}-C_{L}(q_{L})=\left({\frac {a+c_{F}}{2}}-{\frac {b}{2}}q_{L}\right)q_{L}-C_{L}(q_{L})$

선도 기업의 이윤극대화조건은 다음과 같다.

${\frac {\partial \pi _{L}}{\partial q_{L}}}=\left({\frac {a+c}{2}}-bq_{L}\right)-c=0$

선도 기업의 생산량은 $q_{L}={\frac {a-c}{2b}}$가 된다. 이를 후발 기업의 최적반응함수에 대입하면, 후발 기업의 생산량은 $q_{F}={\frac {a-c}{4b}}$가 된다. 슈타켈베르크 모형에서는 선도 기업이 더 많은 생산량을 생산하는 전략적 이점을 가지게 된다, 이를 선행자 이점(First-mover advantage) 또는 선도자 이점이라 한다.

수요곡선이 선형으로 주어지고, 한계비용이 두 기업 모두 상수이면서 같다면 선도 기업의 생산량은 독점 기업이 생산하였을 생산량과 같아지는 특성이 있다.

같이 보기

• 과점
• 쿠르노 모형
• 베르트랑 모형