수치해석에서 라그랑주 다항식은 라그랑주 형식에서 데이터 포인트의 주어진 집합으로부터 다항식을 보간하는 방법으로, 조제프루이 라그랑주의 이름에서 왔다. 이것은 1779년 에드워드 웨어링에 의해 처음으로 발견되었고, 1783년에 레온하르트 오일러에 의해 마지막으로 재발견되었다.
k + 1 데이터 포인트의 주어진 집합
여기서 xj는 두 개의 같은 값이 존재하지 않고, 라그랑주 형식의 보간 다항식은 선형 결합
이다. 이것의 라그랑주 기초 다항식은 다음과 같다.
는 두 개의 같은 값이 존재하지 않기 때문에(그리고 존재할 수도 없다, 그렇지 않으면 데이터 집합의 의미가 모순된다), .이 표현이 잘 정의 된다.
L(x)가 적절히 데이터를 보간 하기 위하여,
우리가 관찰하는 함수는 각 데이터 포인트 j에 해당하는 k 보다 적거나 같은 차수의 다항식 L(x)이어야 한다.
만약 이 문항이 모든 j를 쥐고 있다면, 우리는 그 다항식이 보간 문제의 솔루션이라 말한다.
증명:
- 곱에서 k 항을 포함하고 있고 각 항마다 x 하나를 포함하고 있는 에서, L(x)(이것은 k차 다항식의 합이다.)는 k차 다항식이어야 한다.
이 곱셈을 확장한다면 무엇이 일어날지를 보라. 곱이 을 스킵하기 때문에, 만약 라면 모든 항이 이다(인 경우는 제외한다).
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값이 잘 알려진 주어진 집합 ƒ(x) = tan(x)를 이용하여 보간 수식을 찾아라:
기초 다항식:
결론, 보간된 다항식
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