수론에서 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다.[1]
양의 정수
가 주어졌다고 하자. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수
이 존재한다.
![{\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac6919cbd3aa4193779c2a9069abfca66390c9d)
사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉,
에 대하여,
는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어,
에 대하여,
는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다.
- 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 (OEIS의 수열 A047701)
사실
가 소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러의 네 제곱수 항등식 때문이다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\qquad \forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b20125379a984a61515e954fe673b639accac06)
또한,
일 경우는 자명하므로,
라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는
및
가 존재함을 보이자.
![{\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c89a58cb7a68024f5aea108d5bf135a1212f7fd)
다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.
![{\displaystyle \{\phi _{p}(x^{2})\colon x\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071ec8e2f0a4ed1bc1c5920bf45a80b6a369179e)
![{\displaystyle \{\phi _{p}(-y^{2}-1)\colon y\in \{0,1,\dots ,(p-1)/2\}\}\subseteq \mathbb {Z} /(p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/903cd99d45420e0e7ac63228c46bf23aa69c23ed)
여기서
는
에 대한 나머지이며,
는
에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의
에 대하여, 만약
![{\displaystyle x^{2}\equiv {x'}^{2}{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cdb4110c090a0cce4cf4e9a2d4d6f4d3626f4b)
라면,
![{\displaystyle x\equiv x'{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c2628b773867b01006a95895fa301a172835c01)
이거나
![{\displaystyle x+x'\equiv 0{\pmod {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf228cccbb147bf97810e57b245268b2d484a18)
이므로,
이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두
이며,
의 크기는
이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다.
인 이유는 다음과 같다.
![{\displaystyle kp=x^{2}+y^{2}+1<p^{2}/2+1<p^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f890f94aaa010576a3353b687851984850052622)
이제
가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은
을 정의하고,
임을 보이면 충분하다.
![{\displaystyle m=\min\{k\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \exists x,y,z,w\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\}\colon kp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\}\in \mathbb {Z} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57d2bff712833d95333e77596e2b611843ad04a)
귀류법을 사용하여,
이라고 가정하자. 다음을 만족시키는
이 존재한다.
![{\displaystyle mp=x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67e964e8dd4bcf5c4c535c99142ecb3a50ed5946)
만약
이 짝수라면, 편의상
와
가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}mp/2&=(x^{2}+y^{2})/2+(z^{2}+w^{2})/2\\&=((x+y)/2)^{2}+((x-y)/2)^{2}+((z+w)/2)^{2}+((z-w)/2)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97cbf49dd711f5f5083f18838a0702ab7b9d404e)
이는 모순이므로,
은 홀수이다. 다음과 같은
를 취하자.
![{\displaystyle x\equiv x',\;y\equiv y',\;z\equiv z',\;w\equiv w'{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04d63a6a50e003dabe98803e89b5239203dad4c2)
그렇다면,
![{\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/388a87520c84eaf2affb1df9f40e85600263096d)
![{\displaystyle {x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}<m^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bae9a612bc2c7a1d35d6dba0e4ed7beb9f0f1fc)
이므로, 다음을 만족시키는
이 존재한다.
![{\displaystyle mm'={x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb29d90e84a8321aa63993c3429d11e4e86f763c)
만약
이라면,
![{\displaystyle x\equiv y\equiv z\equiv w\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61bc5a0ca43516a35a0d93a8ddfabd2a0b26713a)
이므로,
![{\displaystyle p/m=(x/m)^{2}+(y/m)^{2}+(z/m)^{2}+(w/m)^{2}\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/146781226450f2a205015db727316eea00617f99)
이다. 이는
에 모순이다. 따라서,
이며, 또한 다음이 성립한다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}m^{2}m'p=(x^{2}+{}&y^{2}+z^{2}+w^{2})({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}+{w'}^{2})\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^{2}+(xy'-yx'-zw'+wz')^{2}\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^{2}+(xw'-yz'+zy'-wx')^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3e24698b71bf29660856f198d18ca25a4a0af2)
마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.
![{\displaystyle xx'+yy'+zz'+ww'\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac14d6a8a5b78c9c2df3efedccb5749d14bec4b)
![{\displaystyle xy'-yx'-zw'+wz'\equiv xy-yx-zw+wz\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfad66a7167fee543c22fee31b6d7b270c706c3f)
![{\displaystyle xz'+yw'-zx'-wy'\equiv xz+yw-zx-wy\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68620b726bd48f9fecdeb62d7008fbe375ec38fa)
![{\displaystyle xw'-yz'+zy'-wx'\equiv xw-yz+zy-wx\equiv 0{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e419c6afc0899d185c79c9a81867af7176b2cc42)
즉,
는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle {\begin{aligned}m'p={}&((xx'+yy'+zz'+ww')/m)^{2}+((xy'-yx'-zw'+wz')/m)^{2}\\&+((xz'+yw'-zx'-wy')/m)^{2}+((xw'-yz'+zy'-wx')/m)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faa727b87d09855db3803aeb0dc86d873e3acee2)
이는 모순이다. 따라서,
이며,
는 4개의 제곱수의 합이다.
디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명에 성공하였다.
같이 보기[편집]
- ↑ 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.
외부 링크[편집]