회전파 근사

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회전파 근사(rotating wave approximation)는 상호작용묘사 또는 디락 묘사(Interaction picture)의 해밀토니언에서 켓 벡터(ket vector)에 포함되는, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 무시하고 상호작용에 의한 변화만을 남겨두는 근사 방법이다.

2준위계에서 단진동하는 섭동[편집]

섭동 이론의 해[편집]

2준위계(Two-level system)에서, 각 준위의 에너지 고유값(energy eigenvalue)과 그 때의 고유함수를 각각 E_a, E_b, \psi_a, \psi_b라고 하고, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 H_0라 하면, 그 때의 파동함수를

\Psi (t)=c_a (t) \psi_a e^{-iE_a t / \hbar} +c_b (t) \psi_b e^{-iE_b t / \hbar}

라 할 수 있다. 이 때,

\left| c_a (t) \right|^2 + \left| c_b (t) \right|^2 =1

이다. 이제 단진동하는 섭동  H^1 (\vec{r},t) = V(\vec{r}) \cos{(wt)}을 주고, 초기조건을  c_a (0)=1, c_b (0)=0라 하면, 1차 섭동이론(first order perturbation theory)에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

c_b (t) \simeq -\frac{V_{ba}}{2\hbar}\left[ \frac{e^{i(\omega_0 +\omega)t}-1}{\omega_0 +\omega} + \frac{e^{i(\omega_0 -\omega)t}-1}{\omega_0 -\omega} \right]

여기에서 \omega_0는 전이주파수(transition frequency)이고, V_{ba} = \langle \psi_b | V | \psi_a \rangle 이다. 만약 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다면, 첫 번째 항은 무시하여도 좋을 것이다. 이때 전이확률(transition probability)은 아래와 같다.

P_{a \to b} (t) =|c_b (t)|^2 \simeq \frac{|V_{ab} |^2}{\hbar^2} \frac{\sin^2{[(\omega_0 -\omega)t/2]}}{(\omega_0 -\omega)^2}

라비 진동수[편집]

라비(Isidor Isaac Rabi, 1898 - 1988)는 처음 섭동을 회전파 근사하면, 섭동이론을 고려하지 않고도 문제를 정확히 풀 수 있음을 지적하였다. 위 결과의 첫 번째 항은 \cos{(\omega t)}의 첫 번째 부분 e^{i\omega t} /2에서 오는 것이다. 섭동 해밀토니안을 아래와 같이 적으면 문제를 해결할 수 있다.

H^1_{ba} =\frac{V_{ba}}{2} e^{-i\omega t}, \quad H^1_{ab} = \frac{V_{ab}}{2} e^{i \omega t}

위의 섭동은 에르미티안(hermitian)이다. 이러한 근사는 디락 묘사에서, 섭동 이론에서 확인한 것과 같은, 물리적 의미를 확인할 수 있다. 이는 아래 원자의 쌍극자 근사에서의 섭동에서 서술할 것이다. 해는 다음과 같다.

c_a (t) = e^{i(\omega -\omega_0)t/2} \left[ \cos{(\Omega t)} + i\left( \frac{\omega_0 -\omega}{2\Omega}\right) \sin{(\Omega t)} \right],\quad c_b (t) = -\frac{i}{2\hbar \Omega} e^{i(\omega_0 -\omega)t/2} \sin{\Omega t}

이제 전이주파수는 다음과 같다.

P_{a \to b} (t) =|c_b (t)|^2 = \left( \frac{|V_{ab} |}{2\hbar \Omega} \right)^2 \sin^2{(\Omega t)}

이때, 라비 진동수(Generalized Rabi frequency) \Omega

 \Omega = \frac{1}{2} \sqrt{(\omega_0 -\omega)^2 + (|V_{ab}|/\hbar)^2}

로 정의된다.

원자의 쌍극자 근사에서의 섭동[편집]

쌍극자 근사에서의 상호작용(섭동)[편집]

쌍극자 모멘트(Dipole moment)가 \vec{d}, 외부 전기장이 주어졌을 때, 섭동 해밀토니안은 아래와 같이 주어진다.

H^1 = -\vec{d} \cdot \vec{E}

외부 전기장은

\vec{E} (t) = \vec{E_0} \left( e^{-i\omega t} + e^{i\omega t}\right)

이다. 이제 고유함수를 기저로 하자. 예를 들어,수소 원자에서 바닥상태(Ground state)가 (000)이고, 들뜬 상태가 (211)인 2준위계로 주어진다면,


\vec{d} = 
\begin{pmatrix}
0 & \int \Psi_{211}^* (\vec{r})e\vec{r}\Psi_{100} (\vec{r})d^3 r \\
\int \Psi_{100}^* (\vec{r})e\vec{r}\Psi_{211} (\vec{r})d^3 r & 0 \\
\end{pmatrix}

이다. 일반적으로 에너지 고유상태에서 원자가 쌍극자를 가지지 않으므로, 쌍극자 모멘트 연산자의 대각 성분은 0이다. 따라서 쌍극자 모멘트 연산자를 아래와 같이 적을 수 있다.


\vec{d} = 
\begin{pmatrix}
0 & \vec{d}_{ab} \\
{\vec{d}_{ba}}^* & 0 \\
\end{pmatrix}

따라서, 섭동은


H^1 = -\vec{d}\cdot\vec{E}= 
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i\omega t} +e^{i\omega t} \right) \\
-\hbar \Omega \left( e^{-i\omega t} +e^{i\omega t} \right) & 0 \\
\end{pmatrix}

이다.  \omega  -\omega 로 진동하는 두 부분으로 나뉘었다.

디락 묘사와 회전파 근사[편집]

이제, \omega_0로 회전하는 좌표계에서 문제를 보기로 하자. 바로 디락 묘사(Interaction picture)이다. 라비 진동수 \Omega는 아래와 같이 정의한다.

\Omega = \frac{1}{\hbar}\vec{d}_{ab}\cdot\vec{E}

회전하는 좌표계에서 상호작용은

 H_I^1 = e^{iH_0 t/\hbar} H^1 e^{-iH_0 t/\hbar}

와 같이 주어진다. 따라서,

 
H_I^1 = 
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i(\omega -\omega_0)t} +e^{i(\omega +\omega_0)t} \right) \\
-\hbar \Omega \left( e^{i(\omega -\omega_0)t} +e^{-i(\omega +\omega_0)t} \right) & 0\\
\end{pmatrix}

이다. 이제, 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다고 하면,

 
H_I^1 \simeq
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega \left( e^{-i(\omega -\omega_0)t} \right)\\
-\hbar \Omega \left( e^{i(\omega -\omega_0)t} \right)& 0\\
\end{pmatrix}

로 근사할 수 있다. 바로 회전파 근사이다. 이제 다시 슈뢰딩거 묘사로 되돌아오면,

 
H^1 \simeq
\begin{pmatrix}
0 & -\hbar \Omega e^{-i\omega t} \\
-\hbar \Omega e^{i\omega t} & 0\\
\end{pmatrix}

이다. 바로 2준위계에서 시도한 섭동과 같은 형태의 섭동이 되었다. 섭동의 정방향 회전(\omega)와 역방향 회전(counter rotation, -\omega) 성분 중에서 정방향 회전 부분만 남게 되었다. 역방향 회전까지 고려하게 되면, 공명 주파수(resonance frequency)가 \omega_0가 변화하게 되는데, 바로 Bloch-Siegert 이동(Bloch-Siegert shift)이다.

참고문헌[편집]

  • J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition,1994.
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, 2004.
  • L. Allen and J. H. Eberly, Optical Response and Two-level Atoms, Dover Publications, 1987.