회전파 근사

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회전파 근사(rotating wave approximation)는 상호작용 묘사해밀토니언에서 켓 벡터(ket vector)에 포함되는, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 무시하고 상호작용에 의한 변화만을 남겨두는 근사 방법이다.

2준위계에서 단진동하는 섭동[편집]

섭동 이론의 해[편집]

2준위계(Two-level system)에서, 각 준위의 에너지 고윳값과 그 때의 고유함수를 각각 라고 하고, 섭동이 없을 때의 해밀토니안을 라 하면, 그 때의 파동함수를

라 할 수 있다. 이 때,

이다. 이제 단진동하는 섭동 을 주고, 초기조건을 라 하면, 1차 섭동이론(first order perturbation theory)에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

여기에서 는 전이주파수(transition frequency)이고, 이다. 만약 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다면, 첫 번째 항은 무시하여도 좋을 것이다. 이때 전이확률(transition probability)은 아래와 같다.

라비 진동수[편집]

라비(Isidor Isaac Rabi, 1898 - 1988)는 처음 섭동을 회전파 근사하면, 섭동이론을 고려하지 않고도 문제를 정확히 풀 수 있음을 지적하였다. 위 결과의 첫 번째 항은 의 첫 번째 부분 에서 오는 것이다. 섭동 해밀토니안을 아래와 같이 적으면 문제를 해결할 수 있다.

위의 섭동은 에르미티안(hermitian)이다. 이러한 근사는 디락 묘사에서, 섭동 이론에서 확인한 것과 같은, 물리적 의미를 확인할 수 있다. 이는 아래 원자의 쌍극자 근사에서의 섭동에서 서술할 것이다. 해는 다음과 같다.

이제 전이주파수는 다음과 같다.

이때, 라비 진동수(Generalized Rabi frequency)

로 정의된다.

원자의 쌍극자 근사에서의 섭동[편집]

쌍극자 근사에서의 상호작용(섭동)[편집]

쌍극자 모멘트(Dipole moment)가 , 외부 전기장이 주어졌을 때, 섭동 해밀토니안은 아래와 같이 주어진다.

외부 전기장은

이다. 이제 고유함수를 기저로 하자. 예를 들어,수소 원자에서 바닥상태(Ground state)가 (000)이고, 들뜬 상태가 (211)인 2준위계로 주어진다면,

이다. 일반적으로 에너지 고유상태에서 원자가 쌍극자를 가지지 않으므로, 쌍극자 모멘트 연산자의 대각 성분은 0이다. 따라서 쌍극자 모멘트 연산자를 아래와 같이 적을 수 있다.

따라서, 섭동은

이다. 로 진동하는 두 부분으로 나뉘었다.

디락 묘사와 회전파 근사[편집]

이제, 로 회전하는 좌표계에서 문제를 보기로 하자. 바로 디락 묘사(Interaction picture)이다. 라비 진동수 는 아래와 같이 정의한다.

회전하는 좌표계에서 상호작용은

와 같이 주어진다. 따라서,

이다. 이제, 전이주파수와 같은 진동수의 섭동을 준다고 하면,

로 근사할 수 있다. 바로 회전파 근사이다. 이제 다시 슈뢰딩거 묘사로 되돌아오면,

이다. 바로 2준위계에서 시도한 섭동과 같은 형태의 섭동이 되었다. 섭동의 정방향 회전()와 역방향 회전(counter rotation, ) 성분 중에서 정방향 회전 부분만 남게 되었다. 역방향 회전까지 고려하게 되면, 공명 주파수(resonance frequency)가 가 변화하게 되는데, 바로 Bloch-Siegert 이동(Bloch-Siegert shift)이다.

참고문헌[편집]

  • J. J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition,1994.
  • David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Second Edition, 2004.
  • L. Allen and J. H. Eberly, Optical Response and Two-level Atoms, Dover Publications, 1987.