일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서, 일반화 페테르센 그래프(一般化Petersen graph, 영어: generalized Petersen graph)는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 페테르센 그래프(영어: Petersen graph)라고 한다.

정의

3 이상의 정수 $n\geq 3$과, $n$의 배수가 아닌 정수 $k\in \mathbb {Z}$, $n\nmid k$가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 $n$이 짝수라면 $n/2\nmid k$라고 하자.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$는 다음과 같은 그래프이다.

$\operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

$\operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

여기서 첨자는 법 $n$으로 계산한다. 즉, $u_{n+i}=u_{i}$ 및 $v_{n+i}=u_{i}$로 간주한다.

당연히

$\operatorname {GPG} (n,k)=\operatorname {GPG} (n,k+n)=\operatorname {GPG} (n,-k)$

이므로, 보통

$1\leq k<n/2$

를 가정한다.

성질

기초적 성질

페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$ 속의 완벽 부합

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$는 $2n$개의 꼭짓점과 $3n$개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, $\{u_{i}v_{i}\}_{i\in \mathbb {Z} /n}$은 완벽 부합을 이룬다.

케일리 그래프

나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$는 대칭군 $\operatorname {Sym} (4)$의 케일리 그래프이다.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
• $k^{2}\equiv 1{\pmod {n}}$

예를 들어, 나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 경우 $5^{2}\equiv 1{\pmod {12}}$이며, 이는 대칭군 $\operatorname {Sym} (4)$의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$는 크기 $2n$의 정이면체군 $\operatorname {Dih} (n)$의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 케일리 그래프가 아니다.

꼭짓점 색칠

일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(영어: Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다. 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
• $n$이 짝수이며, $k$는 홀수이다.

다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$의 색칠수는 다음과 같다.

$\chi (\operatorname {GPG} (n,k))={\begin{cases}2&2\mid n\land 2\nmid k\\3&2\nmid n\lor 2\mid k\end{cases}}$

여기서 $\land$는 논리곱(AND), $\lor$는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 색칠수는 3이다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 3색 그래프 색칠

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$의 2색 그래프 색칠

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$의 3색 그래프 색칠

변 색칠

페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (9,2)$는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 4색 변 색칠

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$의 3색 변 색칠

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$의 3색 변 색칠

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$의 3색 변 색칠

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 3색 변 색칠

해밀턴 경로

임의의 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$ ($3\leq n$, $1\leq k<n/2$)에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
• (나) $n\equiv 5{\pmod {6}}$이며, $k\in \{2,(n-1)/2\}$이다.

또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)

예를 들어, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (8,3)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (9,2)$ 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$ 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

교차수

각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$은 평면 그래프이다. 즉, 교차수(영어: crossing number)가 0이다.

페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 교차수는 2이다. 나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 $K_{5}$ 또는 완전 이분 그래프 $K_{3,3}$를 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 이 둘 다를 마이너로 갖는다.

• 

  오각기둥 그래프 $\operatorname {GPG} (5,1)$의 교차수는 0이다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 교차수는 2이다.

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 교차수는 8이다.

예

일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

• 페테르센 그래프는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$이다. 이는 완전 그래프 $K_{5}$의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
• 뒤러 그래프(영어: Dürer graph)는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$이다.
• 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
• 데자르그 그래프(영어: Desargues graph)는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$이다.
• 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$는 $n$각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (3,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) $\operatorname {GPG} (4,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,1)$

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (6,1)$

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (7,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (8,1)$

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (12,4)$

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$

역사

알브레히트 뒤러의 판화 《멜란콜리아 1》

데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 $(A,B,C,A',B',C',P,Q,R,S)$와 10개의 직선 $(a,b,c,a',b',c',p,q,r,s)$에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$를 얻는다.

나우루의 국기

독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(독일어: Melancholia Ⅰ)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,^{:227, Fig. 5} 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.

연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다.

“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.^{:418, §2} 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$를 $\{n\}+\{n/k\}$로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.

1969년에 마크 왓킨스(영어: Mark E. Watkins)가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”(영어: generalized Petersen graph)라고 명명하였다.m

“나우루 그래프”(영어: Nauru graph)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(영어: David Arthur Eppstein)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.

바깥 고리

• “Petersen graph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Desargues graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nauru graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dürer graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Möbius–Kantor graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dodecahedral graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prism graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Eppstein, David Arthur (2007년 12월 12일). “The many faces of the Nauru graph”. 《11011110》 (영어).