일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서, 일반화 페테르센 그래프(一般化Petersen graph, 영어: generalized Petersen graph)는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 페테르센 그래프(영어: Petersen graph)라고 한다.

정의

3 이상의 정수 $n\geq 3$과, $n$의 배수가 아닌 정수 $k\in \mathbb {Z}$, $n\nmid k$가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 $n$이 짝수라면 $n/2\nmid k$라고 하자.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$는 다음과 같은 그래프이다.

$\operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

$\operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

여기서 첨자는 법 $n$으로 계산한다. 즉, $u_{n+i}=u_{i}$ 및 $v_{n+i}=u_{i}$로 간주한다. 일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, $u_{i}v_{i}$ 꼴의 변을 바큇살(영어: spoke)이라고 한다.

당연히

$\operatorname {GPG} (n,k)=\operatorname {GPG} (n,k+n)=\operatorname {GPG} (n,-k)$

이므로, 보통

$1\leq k<n/2$

를 가정한다.

성질

기초적 성질

페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$ 속의 완벽 부합

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$는 $2n$개의 꼭짓점과 $3n$개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, $\{u_{i}v_{i}\}_{i\in \mathbb {Z} /n}$은 완벽 부합을 이룬다.

동형

임의의 정수 $n\geq 3$ 및 정수 $1\leq k,k'<n/2$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Proposition 9}

• $\operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')$
• $kk'\equiv \pm 1{\pmod {n}}$

예를 들어, $\operatorname {GPG} (7,2)\cong \operatorname {GPG} (7,3)$이다.

안둘레

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$의 안둘레는 항상 $\min\{8,k+3,n/\gcd\{n,k\}\}$ 이하이다.^{:Theorem 2.1}

증명:

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

$\operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

$\operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

이다. 그 속에서

$u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k+1}-v_{k+1}-v_{1}-u_{1}-u_{0}$

는 길이 8의 순환이며,

$u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k-1}-\dotsb -u_{1}-u_{0}$

는 길이 $k+3$의 순환이며,

$v_{0}-v_{k}-v_{2k}-\dotsb -v_{0}$

는 길이 $n/\gcd\{n,k\}$의 순환이다.

또한, 다음이 성립한다.

$\operatorname {girth} (\operatorname {GPG} (ak\pm b,k))\leq a+b+2$

증명:

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

$\operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

$\operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

이다. 그 속에서

$u_{0}-v_{0}-v_{k}-\dotsb -v_{ak\equiv \pm b}-u_{\pm b}-u_{\pm (b-1)}-\dotsb -u_{\pm 1}-u_{0}$

은 길이 $a+b+2$의 순환이다 (복부호 동순).

위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 $1\leq k<n/2$이며,

$k=\min \left\{1\leq k'<n/2\colon \operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,k')\right\}$

일 때, 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.^{:Theorem 2.8}

조건	안둘레
$n=3k$	3
$n=4k$	4
$k=1$
$n=5k$	5
$n=5k/2$
$k=2$
$n=6k$	6
$k=3$
$n=2k+2$
$n=7k$	7
$n=7k/2$
$n=7k/3$
$k=4$
$n=2k+3$
$n=3k\pm 2$
그 밖의 경우	8

증명:

일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은

$\operatorname {V} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i},v_{i}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

$\operatorname {E} (\operatorname {GPG} (n,k))=\{u_{i}u_{i+1},u_{i}v_{i},v_{i}v_{i+k}\colon i\in \mathbb {Z} /n\}$

이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 $u_{i}v_{i}$을 포함한다.

모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환

$u_{0}-v_{0}-v_{k}-u_{k}-u_{k+1}-v_{k+1}-v_{1}-u_{1}-u_{0}$

을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.

2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 $u_{0}-u_{1}$로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.

$u_{0}-u_{1}-\dotsb -u_{b}-v_{b}-v_{b\pm k}-v_{b\pm 2k}-\dotsb -v_{b\pm ak}-u_{0}$

이것이 존재하기 위해서는 $ak\pm b\mid n$이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 $a+b+2$이다.

• $k$가 최솟값이어야 하므로, $ak+b=n$ 및 $ak+b=0$인 경우만 고려해도 된다.
  • $ak+b=0$인 경우: $(a,b)=(1,-k)$인 경우가 최적이며, 이 경우 순환의 길이는 $k+3$이다.
  • $ak+b=n$인 경우:
    • 만약 $n=ak\pm 1$인 경우, $\operatorname {GPG} (n,k)\cong \operatorname {GPG} (n,a)$이다. 따라서, 이 경우 $k$는 최솟값을 갖지 못한다.
    • 만약 $n=ak$일 경우, 이 경우 0개의 바큇살을 갖는 길이 $a$의 순환이 더 짧다.
    • 만약 $n=2k-b$일 경우, $k\geq n/2$이다.
    • 위 경우를 제외하면, 이러한 순환의 길이가 8 미만인 경우는 남는 것은 $(a,b)=(2,2),(2,3),(3,2),(3,-2)$이다.

0개의 바큇살을 갖는 순환은 $u_{i}$ 또는 $v_{i}$로만 구성된다. $u_{i}$만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 $n$이며, $v_{i}$만으로 구성되는 순환의 길이는 $n/\gcd\{n,k\}$이다.

• 후자의 길이가 7 이하가 되려면, 가능한 경우는 $n/k\in \{3/1,4/1,5/1,5/2,6/1,7/1,7/2,7/3\}$이다.

케일리 그래프

나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$는 대칭군 $\operatorname {Sym} (4)$의 케일리 그래프이다.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 어떤 유한군의 케일리 그래프와 동형이다.
• $k^{2}\equiv 1{\pmod {n}}$

예를 들어, 나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 경우 $5^{2}\equiv 1{\pmod {12}}$이며, 이는 대칭군 $\operatorname {Sym} (4)$의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$는 크기 $2n$의 정이면체군 $\operatorname {Dih} (n)$의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 케일리 그래프가 아니다.

꼭짓점 색칠

일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리(영어: Brooks’ theorem)에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다. 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이분 그래프이다. (즉, 색칠수가 2이다.)
• $n$이 짝수이며, $k$는 홀수이다.

다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$의 색칠수는 다음과 같다.

$\chi (\operatorname {GPG} (n,k))={\begin{cases}2&2\mid n\land 2\nmid k\\3&2\nmid n\lor 2\mid k\end{cases}}$

여기서 $\land$는 논리곱(AND), $\lor$는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 색칠수는 3이다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 3색 그래프 색칠

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$의 2색 그래프 색칠

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$의 3색 그래프 색칠

변 색칠

페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.

일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (9,2)$는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 4색 변 색칠

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$의 3색 변 색칠

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$의 3색 변 색칠

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$의 3색 변 색칠

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 3색 변 색칠

해밀턴 경로

임의의 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$ ($3\leq n$, $1\leq k<n/2$)에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.

• (가) 해밀턴 순환을 갖는다.
• (나) $n\equiv 5{\pmod {6}}$이며, $k\in \{2,(n-1)/2\}$이다.

또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)

예를 들어, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (8,3)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (9,2)$ 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 굵게 칠해졌다.

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$ 속의 해밀턴 순환. 해밀턴 순환에 속하는 변들은 붉은 색으로 굵게 칠해졌다.

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$ 속의 해밀턴 순환. 맨 밖의 변들이 해밀턴 순환을 이룬다.

교차수

각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.

페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.

평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 $K_{5}$ 또는 완전 이분 그래프 $K_{3,3}$를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.

• 

  오각기둥 그래프 $\operatorname {GPG} (5,1)$의 교차수는 0이다.

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$의 교차수는 2이다.

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$의 교차수는 8이다.

예

일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

• 페테르센 그래프는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$이다. 이는 완전 그래프 $K_{5}$의 선 그래프의 여 그래프와 동형이다.
• 뒤러 그래프(영어: Dürer graph)는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$이다.
• 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$는 정십이면체의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.
• 데자르그 그래프(영어: Desargues graph)는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$이다.
• 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,1)$는 $n$각형 각기둥의 꼭짓점 및 변들로 구성된 그래프와 같다.

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (3,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 (정육면체 그래프) $\operatorname {GPG} (4,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,1)$

• 

  페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (5,2)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (6,1)$

• 

  뒤러 그래프 $\operatorname {GPG} (6,2)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (7,1)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (8,1)$

• 

  정십이면체 그래프 $\operatorname {GPG} (10,2)$

• 

  데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$

• 

  일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (12,4)$

• 

  나우루 그래프 $\operatorname {GPG} (12,5)$

역사

알브레히트 뒤러의 판화 《멜란콜리아 1》

데자르그의 정리에 등장하는 작도. 10개의 점 $(A,B,C,A',B',C',P,Q,R,S)$와 10개의 직선 $(a,b,c,a',b',c',p,q,r,s)$에 각각 어떤 그래프의 꼭짓점을 대응시키고, 인접하는 점과 직선에 대응하는 두 꼭짓점 사이를 변으로 이으면, 데자르그 그래프 $\operatorname {GPG} (10,3)$를 얻는다.

나우루의 국기

독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》(독일어: Melancholia Ⅰ)에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.

1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며,^{:227, Fig. 5} 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.

연결 삼차 그래프 가운데, 임의의 변을 제거하더라도 연결 그래프로 남는 것들의 경우, 모두 변 색칠수가 3 이하이다.

“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다.^{:418, §2} 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 $\operatorname {GPG} (n,k)$를 $\{n\}+\{n/k\}$로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.

1969년에 마크 왓킨스(영어: Mark E. Watkins)가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”(영어: generalized Petersen graph)라고 명명하였다.

“나우루 그래프”(영어: Nauru graph)라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인(영어: David Arthur Eppstein)이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.

바깥 고리

• “Petersen graph”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Generalized Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Petersen graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Desargues graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Nauru graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dürer graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Möbius–Kantor graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dodecahedral graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Prism graph”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Eppstein, David Arthur (2007년 12월 12일). “The many faces of the Nauru graph”. 《11011110》 (영어). 
• Dobson, Edward (2011년 5월 9일). “The isomorphism classes of all generalized Petersen graphs” (PDF) (영어). 프리모르스카 대학교(슬로베니아어: Univerza na Primorskem) 세미나.