대수학의 기본 정리: 두 판 사이의 차이
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'''대수학의 기본 정리'''(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 |
'''대수학의 기본 정리'''(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소 다항식 |
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에 대해 <math> p(a)=0</math> 인 복소수 <math> a </math> 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다. |
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수학적으로 쓰면, 모든 계수 <math>a_i</math>가 [[복소수]]인 다항식 |
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이 정리는 [[복소수체]]가 [[실수체]]와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다. |
이 정리는 [[복소수체]]가 [[실수체]]와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다. |
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특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다. |
특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다. |
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==증명== |
===증명=== |
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복소수체 위에서의 다음의 조건을 만족하는 <math>n</math>차 다항식을 <math>L(z)</math>라 하자. |
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*모든 <math>z</math>에 대해 <math>L(z) \ne 0</math>. 즉 복소수체 위에서 <math>L(z)</math>의 영점은 존재하지 않는다. |
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이 다항식을 [[삼각부등식]]을 이용해서, 다음과 같이 전개할 수 있다.(<math>a_n</math>은 <math>n</math>차의 계수) |
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복소 다항식 |
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:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math> |
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가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 <math> z</math> 에 대해 <math> p(z)\neq 0</math> 라고 가정하자. 그러면 <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 전해석함수이다. 이제 [[삼각부등식]]을 이용하여 |
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이 되므로, <math>M</math>을 충분히 크게 잡아서, |
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얻고, <math>C = |a_{n-1}|+\cdots+|a_0|</math>라 하면, 양수 <math>M >1 </math>에 대해 <math>|z|\ge M</math>이면 |
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이다. 여기서 <math>M</math>을 충분히 큰 값으로 선택하여 <math> \frac{C}{M} < \frac{|a_n|}{2}</math> 가 되도록 하면 부등식 |
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:<math>|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac{|a_n|}2</math> |
:<math>|a_n|-\left|\frac{a_{n-1}}z+\cdots+\frac{a_0}{z^n}\right|>\frac{|a_n|}2</math> |
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이 성립하므로 식 (a)로부터 |
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의 식을 만족시킬 수 있다. 즉 이 경우, |
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을 얻는다. 즉, <math> \frac{1}{p(z)}</math> 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 [[리우비유 정리 (복소해석학)|리우비유 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {p(z)}</math>는 상수함수이다. 그러나 가정에서 <math> {p(z)}</math>는 상수가 아니라고 하였으므로 <math>\frac 1 {p(z)}</math> 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 <math> {p(z)}</math> 는 적어도 하나의 영점을 갖는다. |
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===따름정리=== |
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대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다. |
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'''(따름정리)''' 모든 <math>n</math>차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 <math>n</math>개의 근을 갖는다. |
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따름정리는 다음과 같이 기슬할 수 있다. 복소 다항식 |
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:<math>p(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dotsb + a_0, ~a_n \neq 0, ~n\ge 1</math> |
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'''(따름정리의 증명)''' 대수학의 기본 정리에 의해 <math> p(z_1)= 0</math> 인 점 <math> z_1</math>이 존재하므로 |
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:<math> p(z)=a_n(z-z_1)p_1(z)</math> |
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이므로, <math>\frac 1 {L(z)}</math>는 [[유계]]인 [[정칙함수|전해석함수]]이다. 그러므로 [[리우비유 정리 (복소해석학)|리우비유 정리]]에 의해 <math>\frac 1 {L(z)}</math>는 상수함수이다. 따라서 <math>L(z)</math>도 상수함수가 되어야 하는데 이는 명백히 모순이다. 이로부터, <b>임의 차수 복소다항식은 반드시 적어도 하나의 영점을 갖는다</b>는 결론이 도출된다. |
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와 같이 쓸 수 있다. 그런데 <math> p_1(z)</math> 은 <math> (n-1) 0</math>의 다항식이므로 대수학의 기본 정리 반복적으로 적용하여 보조정리를 증명할 수 있다. |
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그런데, <math>n</math>차 복소다항식 <math>P(z)</math>가 주어졌을 경우, 첫 번째 영점을 <math>a</math>라 하면 <math>n-1</math>차 복소다항식 <math>\frac {P(z)}{z-a}</math> 또한 영점을 갖는다. 이로부터 <math>n</math>차 복소다항식은 반드시 <math>n</math>개의 영점을 가짐을 알 수 있고, 증명이 끝난다. |
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이외에, 복소해석적 기법으로는 [[가우스-뤼카 정리]]나 [[루셰의 정리]] 등을 이용하여 증명하는 방법도 있다. |
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[[분류:추상대수학]] |
[[분류:추상대수학]] |
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[[분류:수학 정리]] |
[[분류:수학 정리]] |
2009년 6월 25일 (목) 14:26 판
대수학의 기본 정리(代數學의 基本 定理 ; fundamental theorem of algebra)란 상수가 아닌 복소 다항식은 적어도 하나의 영점을 갖는다는 정리이다. 즉, 복소 다항식
에 대해 인 복소수 가 적어도 하나는 존재한다는 것이다.
이 정리는 복소수체가 실수체와는 달리 대수적으로 닫혀 있음을 뜻한다.
수학자들은 17세기에 이미 이 정리가 옳으리라 생각하였으나 증명에는 성공하지 못하였다. 복소수의 개념이 없던 당시에는 “모든 실계수 다항식은 실계수 일차식들과 실계수 이차식들의 곱으로 나타낼 수 있다”라는 예상이었다. 달랑베르(d'Alembert)와 오일러 등이 증명을 시도하였으나 모두 불완전하였고, 최초로 증명에 성공한 수학자는 19세기 초의 가우스(Carl Friedrich Gauss)였다. 그 이후 이 정리는 복소수 계수 다항식으로 확장되었다. 가우스는 생애 동안 몇 가지의 다른 증명을 발표했다. 현재까지 순수하게 대수적인 증명은 아무도 발견하지 못했으며, 약간의 해석학 또는 위상수학을 도입해야 증명할 수 있다. 특히 복소해석학을 이용하면 여러 방법으로 증명할 수 있다. 아래에서는 이 중 하나를 소개하도록 한다.
증명
복소 다항식
가 영점을 갖지 않는다고 가정하자. 즉 모든 복소수 에 대해 라고 가정하자. 그러면 는 전해석함수이다. 이제 삼각부등식을 이용하여
얻고, 라 하면, 양수 에 대해 이면
이다. 여기서 을 충분히 큰 값으로 선택하여 가 되도록 하면 부등식
이 성립하므로 식 (a)로부터
을 얻는다. 즉, 는 유계인 전해석함수이다. 따라서 리우비유 정리에 의해 는 상수함수이다. 그러나 가정에서 는 상수가 아니라고 하였으므로 도 상수함수가 될 수 없다.(모순) 그러므로 는 적어도 하나의 영점을 갖는다.
따름정리
대수학의 기본 정리로부터 다음의 유용한 따름정리를 얻을 수 있다. 이 따름정리를 대수학의 기본정리로 부르는 경우도 있다.
(따름정리) 모든 차 복소 다항식은 중근까지 고려하여 개의 근을 갖는다.
따름정리는 다음과 같이 기슬할 수 있다. 복소 다항식
에 대해 (서로 다를 필요는 없는) 복소수 이 존재하여
와 같이 쓸 수 있다.
(따름정리의 증명) 대수학의 기본 정리에 의해 인 점 이 존재하므로
와 같이 쓸 수 있다. 그런데 은 의 다항식이므로 대수학의 기본 정리 반복적으로 적용하여 보조정리를 증명할 수 있다.