콥-더글러스 생산함수

콥-더글라스 생산 함수(Cobb–Douglas production function)는 한계생산력과 임금 사이의 관계를 규명하기 위해 창안된, 대표적인 1차 동차 생산함수이다.

기본식

$Y=AL^{\alpha }K^{\beta }$

• Y는 생산량(Q)으로 대체할 수 있다.
• A와 $\alpha ,{\beta }$는 생산기술에 의하여 결정되는 상수이다.
• L은 노동투입량이다.
• K는 자본투입량이다.

만약 노동과 자본의 투입량을 k배 만큼 증가시켰을 경우 생산량은

$\alpha +{\beta }>1$일 경우 k배 이상으로 증가하여 규모의 경제가 발생하고,

$\alpha +{\beta }=1$인 경우 k배 만큼 증가하여 규모가 변화하여도 수익은 변하지 않으며

$\alpha +{\beta }<1$인 경우 k배보다 적게 증가하여 규모의 불경제, 즉 규모에 따른 수익 체감이 발생한다.

증명

$Y=AL^{\alpha }K^{\beta }$ ($\alpha +{\beta }=1$)일 때 L과 K 대신 tL과 tK를 대입할 경우

$A(tL)^{\alpha }(tK)^{\beta }$ = $At^{\alpha }L^{\alpha }t^{\beta }K^{\beta }$ = $t^{\alpha }t^{\beta }AL^{\alpha }K^{\beta }$ = $t^{\alpha +\beta }AL^{\alpha }K^{\beta }$ = $tAL^{\alpha }K^{\beta }$ = $t^{1}Q$

가 되어 t배만큼 생산량이 증가함을 증명할 수 있다.